Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4560 / 13139
↖ ↑ ↗
← S 72.938985°
W 79.804688°		 ← 716.83 m → S 72.938985°
W 79.782715°		 →
↑
716.74 m
↓
↑
716.74 m
↓
S 72.945431°
W 79.804688°		 ← 716.57 m →
513 687 m²		 S 72.945431°
W 79.782715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278350830078125 y=0.801971435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278350830078125 × 214)
    floor (0.278350830078125 × 16384)
    floor (4560.5)     		tx = 4560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801971435546875 × 214)
    floor (0.801971435546875 × 16384)
    floor (13139.5)     		ty = 13139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4560 / 13139 ti = "14/4560/13139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4560/13139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4560 ÷ 214
    4560 ÷ 16384     		x = 0.2783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13139 ÷ 214
    13139 ÷ 16384     		y = 0.80194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2783203125 × 2 - 1) × π
    -0.443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39285456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80194091796875 × 2 - 1) × π
    -0.6038818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89715073936334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39285456} λ = -1.39285456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89715073936334))-π/2
    2×atan(0.149995386899318)-π/2
    2×0.148885436016535-π/2
    0.29777087203307-1.57079632675     		φ = -1.27302545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39285456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.804688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27302545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.938985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4560 KachelY 13139 -1.39285456 -1.27302545 -79.804688 -72.938985
    Oben rechts KachelX + 1 4561 KachelY 13139 -1.39247106 -1.27302545 -79.782715 -72.938985
    Unten links KachelX 4560 KachelY + 1 13140 -1.39285456 -1.27313795 -79.804688 -72.945431
    Unten rechts KachelX + 1 4561 KachelY + 1 13140 -1.39247106 -1.27313795 -79.782715 -72.945431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27302545--1.27313795) × R
    0.00011249999999996 × 6371000     		dl = 716.737499999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27302545--1.27313795) × R
    0.00011249999999996 × 6371000     		dr = 716.737499999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39285456--1.39247106) × cos(-1.27302545) × R
    0.00038349999999987 × 0.293389911470166 × 6371000     		do = 716.833262811717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39285456--1.39247106) × cos(-1.27313795) × R
    0.00038349999999987 × 0.29328236041636 × 6371000     		du = 716.570485634299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27302545)-sin(-1.27313795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293389911470166-0.29328236041636)×R²
    abs(-1.39247106--1.39285456)×0.000107551053806387×R²
    0.00038349999999987×0.000107551053806387×6371000²
    0.00038349999999987×0.000107551053806387×40589641000000     		ar = 513687.110117034m²