Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4560 / 12817
↖ ↑ ↗
← S 70.736230°
W 79.804688°		 ← 806.08 m → S 70.736230°
W 79.782715°		 →
↑
805.93 m
↓
↑
805.93 m
↓
S 70.743478°
W 79.804688°		 ← 805.79 m →
649 528 m²		 S 70.743478°
W 79.782715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278350830078125 y=0.782318115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278350830078125 × 214)
    floor (0.278350830078125 × 16384)
    floor (4560.5)     		tx = 4560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782318115234375 × 214)
    floor (0.782318115234375 × 16384)
    floor (12817.5)     		ty = 12817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4560 / 12817 ti = "14/4560/12817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4560/12817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4560 ÷ 214
    4560 ÷ 16384     		x = 0.2783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12817 ÷ 214
    12817 ÷ 16384     		y = 0.78228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2783203125 × 2 - 1) × π
    -0.443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39285456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5645751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77366528594208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39285456} λ = -1.39285456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77366528594208))-π/2
    2×atan(0.169709812473419)-π/2
    2×0.168108106964858-π/2
    0.336216213929716-1.57079632675     		φ = -1.23458011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39285456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.804688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23458011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.736230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4560 KachelY 12817 -1.39285456 -1.23458011 -79.804688 -70.736230
    Oben rechts KachelX + 1 4561 KachelY 12817 -1.39247106 -1.23458011 -79.782715 -70.736230
    Unten links KachelX 4560 KachelY + 1 12818 -1.39285456 -1.23470661 -79.804688 -70.743478
    Unten rechts KachelX + 1 4561 KachelY + 1 12818 -1.39247106 -1.23470661 -79.782715 -70.743478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23458011--1.23470661) × R
    0.000126499999999918 × 6371000     		dl = 805.93149999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23458011--1.23470661) × R
    0.000126499999999918 × 6371000     		dr = 805.93149999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39285456--1.39247106) × cos(-1.23458011) × R
    0.00038349999999987 × 0.329917534115683 × 6371000     		do = 806.080417877593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39285456--1.39247106) × cos(-1.23470661) × R
    0.00038349999999987 × 0.329798114242072 × 6371000     		du = 805.788641867926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23458011)-sin(-1.23470661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329917534115683-0.329798114242072)×R²
    abs(-1.39247106--1.39285456)×0.000119419873611248×R²
    0.00038349999999987×0.000119419873611248×6371000²
    0.00038349999999987×0.000119419873611248×40589641000000     		ar = 649528.025427138m²