Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 456 / 283
↖ ↑ ↗
← N 62.431074°
W 19.687500°		 ← 18.092 km → N 62.431074°
W 19.335937°		 →
↑
18.142 km
↓
↑
18.142 km
↓
N 62.267923°
W 19.687500°		 ← 18.191 km →
329.120 km²		 N 62.267923°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44580078125 y=0.27685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44580078125 × 210)
    floor (0.44580078125 × 1024)
    floor (456.5)     		tx = 456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27685546875 × 210)
    floor (0.27685546875 × 1024)
    floor (283.5)     		ty = 283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 456 / 283 ti = "10/456/283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/456/283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 456 ÷ 210
    456 ÷ 1024     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 283 ÷ 210
    283 ÷ 1024     		y = 0.2763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    0.447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40512640166309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40512640166309))-π/2
    2×atan(4.07604192718507)-π/2
    2×1.33021206384889-π/2
    2.66042412769777-1.57079632675     		φ = 1.08962780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08962780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.431074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 456 KachelY 283 -0.34361170 1.08962780 -19.687500 62.431074
    Oben rechts KachelX + 1 457 KachelY 283 -0.33747577 1.08962780 -19.335937 62.431074
    Unten links KachelX 456 KachelY + 1 284 -0.34361170 1.08678027 -19.687500 62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 457 KachelY + 1 284 -0.33747577 1.08678027 -19.335937 62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08962780-1.08678027) × R
    0.00284752999999993 × 6371000     		dl = 18141.6136299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08962780-1.08678027) × R
    0.00284752999999993 × 6371000     		dr = 18141.6136299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.33747577) × cos(1.08962780) × R
    0.00613593000000001 × 0.462815337370534 × 6371000     		do = 18092.3818105268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.33747577) × cos(1.08678027) × R
    0.00613593000000001 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 18190.9846286508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08962780)-sin(1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462815337370534-0.46533766400578)×R²
    abs(-0.33747577--0.34361170)×0.00252232663524599×R²
    0.00613593000000001×0.00252232663524599×6371000²
    0.00613593000000001×0.00252232663524599×40589641000000     		ar = 329119629.95452m²