Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45599 / 94672
↖ ↑ ↗
← S 62.206512°
W 54.758606°		 ← 142.42 m → S 62.206512°
W 54.755859°		 →
↑
142.39 m
↓
↑
142.39 m
↓
S 62.207793°
W 54.758606°		 ← 142.41 m →
20 278 m²		 S 62.207793°
W 54.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347896575927734 y=0.722293853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347896575927734 × 217)
    floor (0.347896575927734 × 131072)
    floor (45599.5)     		tx = 45599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722293853759766 × 217)
    floor (0.722293853759766 × 131072)
    floor (94672.5)     		ty = 94672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45599 / 94672 ti = "17/45599/94672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45599/94672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45599 ÷ 217
    45599 ÷ 131072     		x = 0.347892761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94672 ÷ 217
    94672 ÷ 131072     		y = 0.7222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347892761230469 × 2 - 1) × π
    -0.304214477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.95571797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39668950732996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95571797} λ = -0.95571797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39668950732996))-π/2
    2×atan(0.247414674148214)-π/2
    2×0.242543939002547-π/2
    0.485087878005094-1.57079632675     		φ = -1.08570845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95571797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.758606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08570845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.206512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45599 KachelY 94672 -0.95571797 -1.08570845 -54.758606 -62.206512
    Oben rechts KachelX + 1 45600 KachelY 94672 -0.95567003 -1.08570845 -54.755859 -62.206512
    Unten links KachelX 45599 KachelY + 1 94673 -0.95571797 -1.08573080 -54.758606 -62.207793
    Unten rechts KachelX + 1 45600 KachelY + 1 94673 -0.95567003 -1.08573080 -54.755859 -62.207793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08570845--1.08573080) × R
    2.23500000000598e-05 × 6371000     		dl = 142.391850000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08570845--1.08573080) × R
    2.23500000000598e-05 × 6371000     		dr = 142.391850000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95571797--0.95567003) × cos(-1.08570845) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.466286100047518 × 6371000     		do = 142.415777158964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95571797--0.95567003) × cos(-1.08573080) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.466266328361678 × 6371000     		du = 142.409738377185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08570845)-sin(-1.08573080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466286100047518-0.466266328361678)×R²
    abs(-0.95567003--0.95571797)×1.97716858399977e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.97716858399977e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.97716858399977e-05×40589641000000     		ar = 20278.4160430412m²