Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45599 / 94668
↖ ↑ ↗
← S 62.201389°
W 54.758606°		 ← 142.44 m → S 62.201389°
W 54.755859°		 →
↑
142.46 m
↓
↑
142.46 m
↓
S 62.202670°
W 54.758606°		 ← 142.43 m →
20 291 m²		 S 62.202670°
W 54.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347896575927734 y=0.722263336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347896575927734 × 217)
    floor (0.347896575927734 × 131072)
    floor (45599.5)     		tx = 45599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722263336181641 × 217)
    floor (0.722263336181641 × 131072)
    floor (94668.5)     		ty = 94668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45599 / 94668 ti = "17/45599/94668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45599/94668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45599 ÷ 217
    45599 ÷ 131072     		x = 0.347892761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94668 ÷ 217
    94668 ÷ 131072     		y = 0.722259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347892761230469 × 2 - 1) × π
    -0.304214477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.95571797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.44451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39649775973148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95571797} λ = -0.95571797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39649775973148))-π/2
    2×atan(0.247462119866467)-π/2
    2×0.242588647414292-π/2
    0.485177294828584-1.57079632675     		φ = -1.08561903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95571797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.758606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08561903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.201389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45599 KachelY 94668 -0.95571797 -1.08561903 -54.758606 -62.201389
    Oben rechts KachelX + 1 45600 KachelY 94668 -0.95567003 -1.08561903 -54.755859 -62.201389
    Unten links KachelX 45599 KachelY + 1 94669 -0.95571797 -1.08564139 -54.758606 -62.202670
    Unten rechts KachelX + 1 45600 KachelY + 1 94669 -0.95567003 -1.08564139 -54.755859 -62.202670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08561903--1.08564139) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dl = 142.455559999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08561903--1.08564139) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dr = 142.455559999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95571797--0.95567003) × cos(-1.08561903) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.466365202153421 × 6371000     		do = 142.439936978195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95571797--0.95567003) × cos(-1.08564139) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.466345422553503 × 6371000     		du = 142.433895779253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08561903)-sin(-1.08564139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466365202153421-0.466345422553503)×R²
    abs(-0.95567003--0.95571797)×1.97795999176686e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.97795999176686e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.97795999176686e-05×40589641000000     		ar = 20290.9306882433m²