Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45596 / 94685
↖ ↑ ↗
← S 62.223156°
W 54.766846°		 ← 142.34 m → S 62.223156°
W 54.764099°		 →
↑
142.33 m
↓
↑
142.33 m
↓
S 62.224436°
W 54.766846°		 ← 142.33 m →
20 258 m²		 S 62.224436°
W 54.764099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347873687744141 y=0.722393035888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347873687744141 × 217)
    floor (0.347873687744141 × 131072)
    floor (45596.5)     		tx = 45596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722393035888672 × 217)
    floor (0.722393035888672 × 131072)
    floor (94685.5)     		ty = 94685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45596 / 94685 ti = "17/45596/94685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45596/94685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45596 ÷ 217
    45596 ÷ 131072     		x = 0.347869873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94685 ÷ 217
    94685 ÷ 131072     		y = 0.722389221191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.30426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95586178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722389221191406 × 2 - 1) × π
    -0.444778442382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.39731268702502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95586178} λ = -0.95586178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39731268702502))-π/2
    2×atan(0.247260538379154)-π/2
    2×0.24239868903025-π/2
    0.4847973780605-1.57079632675     		φ = -1.08599895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95586178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.766846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08599895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.223156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45596 KachelY 94685 -0.95586178 -1.08599895 -54.766846 -62.223156
    Oben rechts KachelX + 1 45597 KachelY 94685 -0.95581384 -1.08599895 -54.764099 -62.223156
    Unten links KachelX 45596 KachelY + 1 94686 -0.95586178 -1.08602129 -54.766846 -62.224436
    Unten rechts KachelX + 1 45597 KachelY + 1 94686 -0.95581384 -1.08602129 -54.764099 -62.224436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08599895--1.08602129) × R
    2.23399999998986e-05 × 6371000     		dl = 142.328139999354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08599895--1.08602129) × R
    2.23399999998986e-05 × 6371000     		dr = 142.328139999354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95586178--0.95581384) × cos(-1.08599895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466029094205873 × 6371000     		do = 142.337280959265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95586178--0.95581384) × cos(-1.08602129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466009328341286 × 6371000     		du = 142.331243955447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08599895)-sin(-1.08602129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466029094205873-0.466009328341286)×R²
    abs(-0.95581384--0.95586178)×1.97658645874066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97658645874066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97658645874066e-05×40589641000000     		ar = 20258.1708344826m²