Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45595 / 94753
↖ ↑ ↗
← S 62.310070°
W 54.769593°		 ← 141.93 m → S 62.310070°
W 54.766846°		 →
↑
141.88 m
↓
↑
141.88 m
↓
S 62.311346°
W 54.769593°		 ← 141.92 m →
20 137 m²		 S 62.311346°
W 54.766846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347866058349609 y=0.722911834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347866058349609 × 217)
    floor (0.347866058349609 × 131072)
    floor (45595.5)     		tx = 45595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722911834716797 × 217)
    floor (0.722911834716797 × 131072)
    floor (94753.5)     		ty = 94753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45595 / 94753 ti = "17/45595/94753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45595/94753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45595 ÷ 217
    45595 ÷ 131072     		x = 0.347862243652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94753 ÷ 217
    94753 ÷ 131072     		y = 0.722908020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347862243652344 × 2 - 1) × π
    -0.304275512695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.95590972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722908020019531 × 2 - 1) × π
    -0.445816040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.40057239619918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95590972} λ = -0.95590972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40057239619918))-π/2
    2×atan(0.246455853166205)-π/2
    2×0.241640223929924-π/2
    0.483280447859849-1.57079632675     		φ = -1.08751588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95590972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.769593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08751588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.310070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45595 KachelY 94753 -0.95590972 -1.08751588 -54.769593 -62.310070
    Oben rechts KachelX + 1 45596 KachelY 94753 -0.95586178 -1.08751588 -54.766846 -62.310070
    Unten links KachelX 45595 KachelY + 1 94754 -0.95590972 -1.08753815 -54.769593 -62.311346
    Unten rechts KachelX + 1 45596 KachelY + 1 94754 -0.95586178 -1.08753815 -54.766846 -62.311346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08751588--1.08753815) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dl = 141.882170000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08751588--1.08753815) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dr = 141.882170000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95590972--0.95586178) × cos(-1.08751588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464686425297137 × 6371000     		do = 141.92719531424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95590972--0.95586178) × cos(-1.08753815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464666705646735 × 6371000     		du = 141.921172425423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08751588)-sin(-1.08753815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464686425297137-0.464666705646735)×R²
    abs(-0.95586178--0.95590972)×1.97196504025943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97196504025943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97196504025943e-05×40589641000000     		ar = 20136.5111838909m²