Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45594 / 94701
↖ ↑ ↗
← S 62.243629°
W 54.772339°		 ← 142.21 m → S 62.243629°
W 54.769593°		 →
↑
142.20 m
↓
↑
142.20 m
↓
S 62.244908°
W 54.772339°		 ← 142.21 m →
20 222 m²		 S 62.244908°
W 54.769593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347858428955078 y=0.722515106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347858428955078 × 217)
    floor (0.347858428955078 × 131072)
    floor (45594.5)     		tx = 45594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722515106201172 × 217)
    floor (0.722515106201172 × 131072)
    floor (94701.5)     		ty = 94701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45594 / 94701 ti = "17/45594/94701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45594/94701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45594 ÷ 217
    45594 ÷ 131072     		x = 0.347854614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94701 ÷ 217
    94701 ÷ 131072     		y = 0.722511291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347854614257812 × 2 - 1) × π
    -0.304290771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95595765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722511291503906 × 2 - 1) × π
    -0.445022583007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.39807967741894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95595765} λ = -0.95595765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39807967741894))-π/2
    2×atan(0.247070964631337)-π/2
    2×0.242220029741165-π/2
    0.484440059482331-1.57079632675     		φ = -1.08635627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95595765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.772339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08635627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.243629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45594 KachelY 94701 -0.95595765 -1.08635627 -54.772339 -62.243629
    Oben rechts KachelX + 1 45595 KachelY 94701 -0.95590972 -1.08635627 -54.769593 -62.243629
    Unten links KachelX 45594 KachelY + 1 94702 -0.95595765 -1.08637859 -54.772339 -62.244908
    Unten rechts KachelX + 1 45595 KachelY + 1 94702 -0.95590972 -1.08637859 -54.769593 -62.244908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08635627--1.08637859) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dl = 142.200720000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08635627--1.08637859) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dr = 142.200720000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95595765--0.95590972) × cos(-1.08635627) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.465712918661438 × 6371000     		do = 142.211042239769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95595765--0.95590972) × cos(-1.08637859) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.465693166777026 × 6371000     		du = 142.205010764248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08635627)-sin(-1.08637859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465712918661438-0.465693166777026)×R²
    abs(-0.95590972--0.95595765)×1.97518844121669e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97518844121669e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97518844121669e-05×40589641000000     		ar = 20222.0837590931m²