Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4559 / 5970
↖ ↑ ↗
← S 63.273182°
E 20.346680°		 ← 2 197.64 m → S 63.273182°
E 20.390625°		 →
↑
2 196.85 m
↓
↑
2 196.85 m
↓
S 63.292939°
E 20.346680°		 ← 2 196.13 m →
4 826 222 m²		 S 63.292939°
E 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55657958984375 y=0.72882080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55657958984375 × 213)
    floor (0.55657958984375 × 8192)
    floor (4559.5)     		tx = 4559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72882080078125 × 213)
    floor (0.72882080078125 × 8192)
    floor (5970.5)     		ty = 5970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4559 / 5970 ti = "13/4559/5970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4559/5970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4559 ÷ 213
    4559 ÷ 8192     		x = 0.5565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5970 ÷ 213
    5970 ÷ 8192     		y = 0.728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5565185546875 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.45751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43733999820776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35511655} λ = 0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43733999820776))-π/2
    2×atan(0.237558825892704)-π/2
    2×0.233235484825768-π/2
    0.466470969651536-1.57079632675     		φ = -1.10432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.273182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4559 KachelY 5970 0.35511655 -1.10432536 20.346680 -63.273182
    Oben rechts KachelX + 1 4560 KachelY 5970 0.35588354 -1.10432536 20.390625 -63.273182
    Unten links KachelX 4559 KachelY + 1 5971 0.35511655 -1.10467018 20.346680 -63.292939
    Unten rechts KachelX + 1 4560 KachelY + 1 5971 0.35588354 -1.10467018 20.390625 -63.292939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10432536--1.10467018) × R
    0.000344820000000023 × 6371000     		dl = 2196.84822000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10432536--1.10467018) × R
    0.000344820000000023 × 6371000     		dr = 2196.84822000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35511655-0.35588354) × cos(-1.10432536) × R
    0.000766990000000023 × 0.449737097679231 × 6371000     		do = 2197.6373100737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35511655-0.35588354) × cos(-1.10467018) × R
    0.000766990000000023 × 0.449429091177846 × 6371000     		du = 2196.13223837141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10432536)-sin(-1.10467018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449737097679231-0.449429091177846)×R²
    abs(0.35588354-0.35511655)×0.000308006501385905×R²
    0.000766990000000023×0.000308006501385905×6371000²
    0.000766990000000023×0.000308006501385905×40589641000000     		ar = 4826222.45361926m²