Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4559 / 4812
↖ ↑ ↗
← S 29.993002°
E 20.346680°		 ← 4 232.13 m → S 29.993002°
E 20.390625°		 →
↑
4 231.30 m
↓
↑
4 231.30 m
↓
S 30.031055°
E 20.346680°		 ← 4 230.50 m →
17 903 958 m²		 S 30.031055°
E 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55657958984375 y=0.58746337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55657958984375 × 213)
    floor (0.55657958984375 × 8192)
    floor (4559.5)     		tx = 4559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58746337890625 × 213)
    floor (0.58746337890625 × 8192)
    floor (4812.5)     		ty = 4812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4559 / 4812 ti = "13/4559/4812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4559/4812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4559 ÷ 213
    4559 ÷ 8192     		x = 0.5565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4812 ÷ 213
    4812 ÷ 8192     		y = 0.58740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5565185546875 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58740234375 × 2 - 1) × π
    -0.1748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.549165122047363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35511655} λ = 0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549165122047363))-π/2
    2×atan(0.577431694186043)-π/2
    2×0.523659842192447-π/2
    1.04731968438489-1.57079632675     		φ = -0.52347664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52347664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.993002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4559 KachelY 4812 0.35511655 -0.52347664 20.346680 -29.993002
    Oben rechts KachelX + 1 4560 KachelY 4812 0.35588354 -0.52347664 20.390625 -29.993002
    Unten links KachelX 4559 KachelY + 1 4813 0.35511655 -0.52414079 20.346680 -30.031055
    Unten rechts KachelX + 1 4560 KachelY + 1 4813 0.35588354 -0.52414079 20.390625 -30.031055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52347664--0.52414079) × R
    0.000664149999999974 × 6371000     		dl = 4231.29964999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52347664--0.52414079) × R
    0.000664149999999974 × 6371000     		dr = 4231.29964999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35511655-0.35588354) × cos(-0.52347664) × R
    0.000766990000000023 × 0.866086465124141 × 6371000     		do = 4232.12570038906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35511655-0.35588354) × cos(-0.52414079) × R
    0.000766990000000023 × 0.865754269386557 × 6371000     		du = 4230.50242814639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52347664)-sin(-0.52414079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866086465124141-0.865754269386557)×R²
    abs(0.35588354-0.35511655)×0.000332195737583363×R²
    0.000766990000000023×0.000332195737583363×6371000²
    0.000766990000000023×0.000332195737583363×40589641000000     		ar = 17903958.3772878m²