Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45581 / 94678
↖ ↑ ↗
← S 62.214195°
W 54.808044°		 ← 142.35 m → S 62.214195°
W 54.805298°		 →
↑
142.33 m
↓
↑
142.33 m
↓
S 62.215475°
W 54.808044°		 ← 142.34 m →
20 260 m²		 S 62.215475°
W 54.805298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347759246826172 y=0.722339630126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347759246826172 × 217)
    floor (0.347759246826172 × 131072)
    floor (45581.5)     		tx = 45581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722339630126953 × 217)
    floor (0.722339630126953 × 131072)
    floor (94678.5)     		ty = 94678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45581 / 94678 ti = "17/45581/94678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45581/94678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45581 ÷ 217
    45581 ÷ 131072     		x = 0.347755432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94678 ÷ 217
    94678 ÷ 131072     		y = 0.722335815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347755432128906 × 2 - 1) × π
    -0.304489135742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.95658083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722335815429688 × 2 - 1) × π
    -0.444671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39697712872768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95658083} λ = -0.95658083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39697712872768))-π/2
    2×atan(0.24734352262666)-π/2
    2×0.242476890602925-π/2
    0.484953781205851-1.57079632675     		φ = -1.08584255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95658083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.808044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08584255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.214195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45581 KachelY 94678 -0.95658083 -1.08584255 -54.808044 -62.214195
    Oben rechts KachelX + 1 45582 KachelY 94678 -0.95653290 -1.08584255 -54.805298 -62.214195
    Unten links KachelX 45581 KachelY + 1 94679 -0.95658083 -1.08586489 -54.808044 -62.215475
    Unten rechts KachelX + 1 45582 KachelY + 1 94679 -0.95653290 -1.08586489 -54.805298 -62.215475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08584255--1.08586489) × R
    2.23400000001206e-05 × 6371000     		dl = 142.328140000768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08584255--1.08586489) × R
    2.23400000001206e-05 × 6371000     		dr = 142.328140000768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95658083--0.95653290) × cos(-1.08584255) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.466167466439018 × 6371000     		do = 142.349843871863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95658083--0.95653290) × cos(-1.08586489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.466147702202932 × 6371000     		du = 142.34380862461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08584255)-sin(-1.08586489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466167466439018-0.466147702202932)×R²
    abs(-0.95653290--0.95658083)×1.97642360858508e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97642360858508e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97642360858508e-05×40589641000000     		ar = 20259.9590157649m²