Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4558 / 4813
↖ ↑ ↗
← S 30.031055°
E 20.302734°		 ← 4 230.50 m → S 30.031055°
E 20.346680°		 →
↑
4 229.71 m
↓
↑
4 229.71 m
↓
S 30.069094°
E 20.302734°		 ← 4 228.88 m →
17 890 350 m²		 S 30.069094°
E 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55645751953125 y=0.58758544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55645751953125 × 213)
    floor (0.55645751953125 × 8192)
    floor (4558.5)     		tx = 4558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58758544921875 × 213)
    floor (0.58758544921875 × 8192)
    floor (4813.5)     		ty = 4813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4558 / 4813 ti = "13/4558/4813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4558/4813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4558 ÷ 213
    4558 ÷ 8192     		x = 0.556396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4813 ÷ 213
    4813 ÷ 8192     		y = 0.5875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556396484375 × 2 - 1) × π
    0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.549932112441284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35434956} λ = 0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549932112441284))-π/2
    2×atan(0.576988979424145)-π/2
    2×0.523327765883234-π/2
    1.04665553176647-1.57079632675     		φ = -0.52414079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52414079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.031055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4558 KachelY 4813 0.35434956 -0.52414079 20.302734 -30.031055
    Oben rechts KachelX + 1 4559 KachelY 4813 0.35511655 -0.52414079 20.346680 -30.031055
    Unten links KachelX 4558 KachelY + 1 4814 0.35434956 -0.52480469 20.302734 -30.069094
    Unten rechts KachelX + 1 4559 KachelY + 1 4814 0.35511655 -0.52480469 20.346680 -30.069094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52414079--0.52480469) × R
    0.00066389999999994 × 6371000     		dl = 4229.70689999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52414079--0.52480469) × R
    0.00066389999999994 × 6371000     		dr = 4229.70689999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35434956-0.35511655) × cos(-0.52414079) × R
    0.000766989999999967 × 0.865754269386557 × 6371000     		do = 4230.50242814608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35434956-0.35511655) × cos(-0.52480469) × R
    0.000766989999999967 × 0.86542181702994 × 6371000     		du = 4228.87790193623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52414079)-sin(-0.52480469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865754269386557-0.86542181702994)×R²
    abs(0.35511655-0.35434956)×0.000332452356617163×R²
    0.000766989999999967×0.000332452356617163×6371000²
    0.000766989999999967×0.000332452356617163×40589641000000     		ar = 17890350.3330515m²