Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4558 / 13143
↖ ↑ ↗
← S 72.964753°
W 79.848633°		 ← 715.78 m → S 72.964753°
W 79.826660°		 →
↑
715.65 m
↓
↑
715.65 m
↓
S 72.971189°
W 79.848633°		 ← 715.52 m →
512 159 m²		 S 72.971189°
W 79.826660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278228759765625 y=0.802215576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278228759765625 × 214)
    floor (0.278228759765625 × 16384)
    floor (4558.5)     		tx = 4558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802215576171875 × 214)
    floor (0.802215576171875 × 16384)
    floor (13143.5)     		ty = 13143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4558 / 13143 ti = "14/4558/13143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4558/13143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4558 ÷ 214
    4558 ÷ 16384     		x = 0.2781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13143 ÷ 214
    13143 ÷ 16384     		y = 0.80218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39362155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.6043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89868472015118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39362155} λ = -1.39362155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89868472015118))-π/2
    2×atan(0.149765473244199)-π/2
    2×0.148660573701589-π/2
    0.297321147403178-1.57079632675     		φ = -1.27347518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39362155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.848633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27347518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.964753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4558 KachelY 13143 -1.39362155 -1.27347518 -79.848633 -72.964753
    Oben rechts KachelX + 1 4559 KachelY 13143 -1.39323805 -1.27347518 -79.826660 -72.964753
    Unten links KachelX 4558 KachelY + 1 13144 -1.39362155 -1.27358751 -79.848633 -72.971189
    Unten rechts KachelX + 1 4559 KachelY + 1 13144 -1.39323805 -1.27358751 -79.826660 -72.971189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27347518--1.27358751) × R
    0.000112330000000105 × 6371000     		dl = 715.654430000668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27347518--1.27358751) × R
    0.000112330000000105 × 6371000     		dr = 715.654430000668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39362155--1.39323805) × cos(-1.27347518) × R
    0.000383500000000092 × 0.29295994314294 × 6371000     		do = 715.782730442539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39362155--1.39323805) × cos(-1.27358751) × R
    0.000383500000000092 × 0.292852539805578 × 6371000     		du = 715.520314177534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27347518)-sin(-1.27358751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29295994314294-0.292852539805578)×R²
    abs(-1.39323805--1.39362155)×0.000107403337362144×R²
    0.000383500000000092×0.000107403337362144×6371000²
    0.000383500000000092×0.000107403337362144×40589641000000     		ar = 512159.182814963m²