Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4558 / 12828
↖ ↑ ↗
← S 70.815812°
W 79.848633°		 ← 802.88 m → S 70.815812°
W 79.826660°		 →
↑
802.75 m
↓
↑
802.75 m
↓
S 70.823031°
W 79.848633°		 ← 802.59 m →
644 389 m²		 S 70.823031°
W 79.826660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278228759765625 y=0.782989501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278228759765625 × 214)
    floor (0.278228759765625 × 16384)
    floor (4558.5)     		tx = 4558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782989501953125 × 214)
    floor (0.782989501953125 × 16384)
    floor (12828.5)     		ty = 12828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4558 / 12828 ti = "14/4558/12828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4558/12828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4558 ÷ 214
    4558 ÷ 16384     		x = 0.2781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12828 ÷ 214
    12828 ÷ 16384     		y = 0.782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39362155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.56591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77788373310864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39362155} λ = -1.39362155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77788373310864))-π/2
    2×atan(0.168995408492995)-π/2
    2×0.16741362107887-π/2
    0.33482724215774-1.57079632675     		φ = -1.23596908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39362155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.848633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23596908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.815812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4558 KachelY 12828 -1.39362155 -1.23596908 -79.848633 -70.815812
    Oben rechts KachelX + 1 4559 KachelY 12828 -1.39323805 -1.23596908 -79.826660 -70.815812
    Unten links KachelX 4558 KachelY + 1 12829 -1.39362155 -1.23609508 -79.848633 -70.823031
    Unten rechts KachelX + 1 4559 KachelY + 1 12829 -1.39323805 -1.23609508 -79.826660 -70.823031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23596908--1.23609508) × R
    0.000125999999999848 × 6371000     		dl = 802.745999999035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23596908--1.23609508) × R
    0.000125999999999848 × 6371000     		dr = 802.745999999035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39362155--1.39323805) × cos(-1.23596908) × R
    0.000383500000000092 × 0.328606015060954 × 6371000     		do = 802.876011569297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39362155--1.39323805) × cos(-1.23609508) × R
    0.000383500000000092 × 0.328487009599269 × 6371000     		du = 802.58524808338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23596908)-sin(-1.23609508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328606015060954-0.328487009599269)×R²
    abs(-1.39323805--1.39362155)×0.000119005461684474×R²
    0.000383500000000092×0.000119005461684474×6371000²
    0.000383500000000092×0.000119005461684474×40589641000000     		ar = 644388.803022659m²