Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45576 / 94712
↖ ↑ ↗
← S 62.257696°
W 54.821778°		 ← 142.17 m → S 62.257696°
W 54.819031°		 →
↑
142.20 m
↓
↑
142.20 m
↓
S 62.258975°
W 54.821778°		 ← 142.17 m →
20 217 m²		 S 62.258975°
W 54.819031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347721099853516 y=0.722599029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347721099853516 × 217)
    floor (0.347721099853516 × 131072)
    floor (45576.5)     		tx = 45576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722599029541016 × 217)
    floor (0.722599029541016 × 131072)
    floor (94712.5)     		ty = 94712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45576 / 94712 ti = "17/45576/94712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45576/94712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45576 ÷ 217
    45576 ÷ 131072     		x = 0.34771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94712 ÷ 217
    94712 ÷ 131072     		y = 0.72259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.3045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95682052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.4451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39860698331476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95682052} λ = -0.95682052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39860698331476))-π/2
    2×atan(0.246940716998191)-π/2
    2×0.2420972718015-π/2
    0.484194543602999-1.57079632675     		φ = -1.08660178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95682052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.821778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08660178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.257696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45576 KachelY 94712 -0.95682052 -1.08660178 -54.821778 -62.257696
    Oben rechts KachelX + 1 45577 KachelY 94712 -0.95677258 -1.08660178 -54.819031 -62.257696
    Unten links KachelX 45576 KachelY + 1 94713 -0.95682052 -1.08662410 -54.821778 -62.258975
    Unten rechts KachelX + 1 45577 KachelY + 1 94713 -0.95677258 -1.08662410 -54.819031 -62.258975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08660178--1.08662410) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dl = 142.200720000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08660178--1.08662410) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dr = 142.200720000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95682052--0.95677258) × cos(-1.08660178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465495644025023 × 6371000     		do = 142.174351543026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95682052--0.95677258) × cos(-1.08662410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465475889589254 × 6371000     		du = 142.168318029863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08660178)-sin(-1.08662410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465495644025023-0.465475889589254)×R²
    abs(-0.95677258--0.95682052)×1.97544357685708e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97544357685708e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97544357685708e-05×40589641000000     		ar = 20216.8661708765m²