Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45572 / 94716
↖ ↑ ↗
← S 62.262810°
W 54.832763°		 ← 142.12 m → S 62.262810°
W 54.830017°		 →
↑
142.14 m
↓
↑
142.14 m
↓
S 62.264088°
W 54.832763°		 ← 142.11 m →
20 200 m²		 S 62.264088°
W 54.830017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347690582275391 y=0.722629547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347690582275391 × 217)
    floor (0.347690582275391 × 131072)
    floor (45572.5)     		tx = 45572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722629547119141 × 217)
    floor (0.722629547119141 × 131072)
    floor (94716.5)     		ty = 94716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45572 / 94716 ti = "17/45572/94716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45572/94716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45572 ÷ 217
    45572 ÷ 131072     		x = 0.347686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94716 ÷ 217
    94716 ÷ 131072     		y = 0.722625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.30462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95701226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.44525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39879873091324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95701226} λ = -0.95701226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39879873091324))-π/2
    2×atan(0.246893371248102)-π/2
    2×0.242052646752589-π/2
    0.484105293505178-1.57079632675     		φ = -1.08669103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95701226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.832763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08669103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.262810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45572 KachelY 94716 -0.95701226 -1.08669103 -54.832763 -62.262810
    Oben rechts KachelX + 1 45573 KachelY 94716 -0.95696433 -1.08669103 -54.830017 -62.262810
    Unten links KachelX 45572 KachelY + 1 94717 -0.95701226 -1.08671334 -54.832763 -62.264088
    Unten rechts KachelX + 1 45573 KachelY + 1 94717 -0.95696433 -1.08671334 -54.830017 -62.264088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08669103--1.08671334) × R
    2.23100000000809e-05 × 6371000     		dl = 142.137010000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08669103--1.08671334) × R
    2.23100000000809e-05 × 6371000     		dr = 142.137010000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95701226--0.95696433) × cos(-1.08669103) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.465416651443388 × 6371000     		do = 142.120573480313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95701226--0.95696433) × cos(-1.08671334) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.465396904931444 × 6371000     		du = 142.11454364534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08669103)-sin(-1.08671334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465416651443388-0.465396904931444)×R²
    abs(-0.95696433--0.95701226)×1.97465119445295e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.97465119445295e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.97465119445295e-05×40589641000000     		ar = 20200.164843559m²