Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45570 / 94730
↖ ↑ ↗
← S 62.280701°
W 54.838257°		 ← 142.07 m → S 62.280701°
W 54.835510°		 →
↑
142.07 m
↓
↑
142.07 m
↓
S 62.281979°
W 54.838257°		 ← 142.06 m →
20 183 m²		 S 62.281979°
W 54.835510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347675323486328 y=0.722736358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347675323486328 × 217)
    floor (0.347675323486328 × 131072)
    floor (45570.5)     		tx = 45570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722736358642578 × 217)
    floor (0.722736358642578 × 131072)
    floor (94730.5)     		ty = 94730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45570 / 94730 ti = "17/45570/94730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45570/94730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45570 ÷ 217
    45570 ÷ 131072     		x = 0.347671508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94730 ÷ 217
    94730 ÷ 131072     		y = 0.722732543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347671508789062 × 2 - 1) × π
    -0.304656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95710814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.445465087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39946984750792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95710814} λ = -0.95710814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39946984750792))-π/2
    2×atan(0.246727732597181)-π/2
    2×0.241896518711591-π/2
    0.483793037423181-1.57079632675     		φ = -1.08700329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95710814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.838257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08700329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.280701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45570 KachelY 94730 -0.95710814 -1.08700329 -54.838257 -62.280701
    Oben rechts KachelX + 1 45571 KachelY 94730 -0.95706020 -1.08700329 -54.835510 -62.280701
    Unten links KachelX 45570 KachelY + 1 94731 -0.95710814 -1.08702559 -54.838257 -62.281979
    Unten rechts KachelX + 1 45571 KachelY + 1 94731 -0.95706020 -1.08702559 -54.835510 -62.281979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08700329--1.08702559) × R
    2.23000000001417e-05 × 6371000     		dl = 142.073300000902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08700329--1.08702559) × R
    2.23000000001417e-05 × 6371000     		dr = 142.073300000902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95710814--0.95706020) × cos(-1.08700329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465140250019024 × 6371000     		do = 142.065805065752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95710814--0.95706020) × cos(-1.08702559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46512050911825 × 6371000     		du = 142.059775686525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08700329)-sin(-1.08702559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465140250019024-0.46512050911825)×R²
    abs(-0.95706020--0.95710814)×1.97409007740013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97409007740013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97409007740013e-05×40589641000000     		ar = 20183.329436802m²