Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4557 / 13164
↖ ↑ ↗
← S 73.099413°
W 79.870605°		 ← 710.27 m → S 73.099413°
W 79.848633°		 →
↑
710.18 m
↓
↑
710.18 m
↓
S 73.105800°
W 79.870605°		 ← 710.01 m →
504 325 m²		 S 73.105800°
W 79.848633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278167724609375 y=0.803497314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278167724609375 × 214)
    floor (0.278167724609375 × 16384)
    floor (4557.5)     		tx = 4557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803497314453125 × 214)
    floor (0.803497314453125 × 16384)
    floor (13164.5)     		ty = 13164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4557 / 13164 ti = "14/4557/13164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4557/13164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4557 ÷ 214
    4557 ÷ 16384     		x = 0.27813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13164 ÷ 214
    13164 ÷ 16384     		y = 0.803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.4437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39400504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.60693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90673811928735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39400504} λ = -1.39400504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90673811928735))-π/2
    2×atan(0.148564195787383)-π/2
    2×0.147485443201171-π/2
    0.294970886402342-1.57079632675     		φ = -1.27582544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39400504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.870605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27582544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.099413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4557 KachelY 13164 -1.39400504 -1.27582544 -79.870605 -73.099413
    Oben rechts KachelX + 1 4558 KachelY 13164 -1.39362155 -1.27582544 -79.848633 -73.099413
    Unten links KachelX 4557 KachelY + 1 13165 -1.39400504 -1.27593691 -79.870605 -73.105800
    Unten rechts KachelX + 1 4558 KachelY + 1 13165 -1.39362155 -1.27593691 -79.848633 -73.105800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27582544--1.27593691) × R
    0.000111470000000002 × 6371000     		dl = 710.175370000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27582544--1.27593691) × R
    0.000111470000000002 × 6371000     		dr = 710.175370000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39400504--1.39362155) × cos(-1.27582544) × R
    0.000383489999999931 × 0.290711994423421 × 6371000     		do = 710.271844405573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39400504--1.39362155) × cos(-1.27593691) × R
    0.000383489999999931 × 0.29060533693923 × 6371000     		du = 710.011257262732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27582544)-sin(-1.27593691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290711994423421-0.29060533693923)×R²
    abs(-1.39362155--1.39400504)×0.000106657484191419×R²
    0.000383489999999931×0.000106657484191419×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106657484191419×40589641000000     		ar = 504325.039138212m²