Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45569 / 94729
↖ ↑ ↗
← S 62.279423°
W 54.841003°		 ← 142.04 m → S 62.279423°
W 54.838257°		 →
↑
142.07 m
↓
↑
142.07 m
↓
S 62.280701°
W 54.841003°		 ← 142.04 m →
20 180 m²		 S 62.280701°
W 54.838257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347667694091797 y=0.722728729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347667694091797 × 217)
    floor (0.347667694091797 × 131072)
    floor (45569.5)     		tx = 45569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722728729248047 × 217)
    floor (0.722728729248047 × 131072)
    floor (94729.5)     		ty = 94729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45569 / 94729 ti = "17/45569/94729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45569/94729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45569 ÷ 217
    45569 ÷ 131072     		x = 0.347663879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94729 ÷ 217
    94729 ÷ 131072     		y = 0.722724914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347663879394531 × 2 - 1) × π
    -0.304672241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.95715607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722724914550781 × 2 - 1) × π
    -0.445449829101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.3994219106083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95715607} λ = -0.95715607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3994219106083))-π/2
    2×atan(0.24673956024322)-π/2
    2×0.241907667638894-π/2
    0.483815335277787-1.57079632675     		φ = -1.08698099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95715607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.841003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08698099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.279423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45569 KachelY 94729 -0.95715607 -1.08698099 -54.841003 -62.279423
    Oben rechts KachelX + 1 45570 KachelY 94729 -0.95710814 -1.08698099 -54.838257 -62.279423
    Unten links KachelX 45569 KachelY + 1 94730 -0.95715607 -1.08700329 -54.841003 -62.280701
    Unten rechts KachelX + 1 45570 KachelY + 1 94730 -0.95710814 -1.08700329 -54.838257 -62.280701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08698099--1.08700329) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dl = 142.073299999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08698099--1.08700329) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dr = 142.073299999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95715607--0.95710814) × cos(-1.08698099) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.465159990688489 × 6371000     		do = 142.042199031505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95715607--0.95710814) × cos(-1.08700329) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.465140250019024 × 6371000     		du = 142.036170980604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08698099)-sin(-1.08700329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465159990688489-0.465140250019024)×R²
    abs(-0.95710814--0.95715607)×1.97406694641966e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97406694641966e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97406694641966e-05×40589641000000     		ar = 20179.9757440138m²