Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45562 / 95034
↖ ↑ ↗
← S 62.666578°
W 54.860229°		 ← 140.21 m → S 62.666578°
W 54.857483°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
S 62.667839°
W 54.860229°		 ← 140.21 m →
19 661 m²		 S 62.667839°
W 54.857483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347614288330078 y=0.725055694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347614288330078 × 217)
    floor (0.347614288330078 × 131072)
    floor (45562.5)     		tx = 45562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725055694580078 × 217)
    floor (0.725055694580078 × 131072)
    floor (95034.5)     		ty = 95034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45562 / 95034 ti = "17/45562/95034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45562/95034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45562 ÷ 217
    45562 ÷ 131072     		x = 0.347610473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95034 ÷ 217
    95034 ÷ 131072     		y = 0.725051879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347610473632812 × 2 - 1) × π
    -0.304779052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95749163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725051879882812 × 2 - 1) × π
    -0.450103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41404266499242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95749163} λ = -0.95749163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41404266499242))-π/2
    2×atan(0.243158285997754)-π/2
    2×0.238529109585366-π/2
    0.477058219170732-1.57079632675     		φ = -1.09373811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95749163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.860229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09373811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.666578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45562 KachelY 95034 -0.95749163 -1.09373811 -54.860229 -62.666578
    Oben rechts KachelX + 1 45563 KachelY 95034 -0.95744370 -1.09373811 -54.857483 -62.666578
    Unten links KachelX 45562 KachelY + 1 95035 -0.95749163 -1.09376012 -54.860229 -62.667839
    Unten rechts KachelX + 1 45563 KachelY + 1 95035 -0.95744370 -1.09376012 -54.857483 -62.667839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09373811--1.09376012) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dl = 140.225709999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09373811--1.09376012) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dr = 140.225709999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95749163--0.95744370) × cos(-1.09373811) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459167834400755 × 6371000     		do = 140.212422023404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95749163--0.95744370) × cos(-1.09376012) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459148281716228 × 6371000     		du = 140.206451375965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09373811)-sin(-1.09376012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459167834400755-0.459148281716228)×R²
    abs(-0.95744370--0.95749163)×1.95526845269134e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95526845269134e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95526845269134e-05×40589641000000     		ar = 19660.9678105733m²