Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45556 / 95036
↖ ↑ ↗
← S 62.669100°
W 54.876709°		 ← 140.20 m → S 62.669100°
W 54.873963°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
S 62.670361°
W 54.876709°		 ← 140.19 m →
19 659 m²		 S 62.670361°
W 54.873963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347568511962891 y=0.725070953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347568511962891 × 217)
    floor (0.347568511962891 × 131072)
    floor (45556.5)     		tx = 45556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725070953369141 × 217)
    floor (0.725070953369141 × 131072)
    floor (95036.5)     		ty = 95036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45556 / 95036 ti = "17/45556/95036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45556/95036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45556 ÷ 217
    45556 ÷ 131072     		x = 0.347564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95036 ÷ 217
    95036 ÷ 131072     		y = 0.725067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.30487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95777925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.45013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41413853879166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95777925} λ = -0.95777925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41413853879166))-π/2
    2×atan(0.243134974606552)-π/2
    2×0.238507099440195-π/2
    0.47701419888039-1.57079632675     		φ = -1.09378213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95777925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.876709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09378213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.669100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45556 KachelY 95036 -0.95777925 -1.09378213 -54.876709 -62.669100
    Oben rechts KachelX + 1 45557 KachelY 95036 -0.95773132 -1.09378213 -54.873963 -62.669100
    Unten links KachelX 45556 KachelY + 1 95037 -0.95777925 -1.09380414 -54.876709 -62.670361
    Unten rechts KachelX + 1 45557 KachelY + 1 95037 -0.95773132 -1.09380414 -54.873963 -62.670361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09378213--1.09380414) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dl = 140.225710000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09378213--1.09380414) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dr = 140.225710000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95777925--0.95773132) × cos(-1.09378213) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.459128728809272 × 6371000     		do = 140.20048066028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95777925--0.95773132) × cos(-1.09380414) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.459109175679894 × 6371000     		du = 140.194509877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09378213)-sin(-1.09380414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459128728809272-0.459109175679894)×R²
    abs(-0.95773132--0.95777925)×1.95531293772921e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.95531293772921e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.95531293772921e-05×40589641000000     		ar = 19659.2933151885m²