Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45551 / 95022
↖ ↑ ↗
← S 62.651440°
W 54.890442°		 ← 140.31 m → S 62.651440°
W 54.887695°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
S 62.652702°
W 54.890442°		 ← 140.31 m →
19 684 m²		 S 62.652702°
W 54.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347530364990234 y=0.724964141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347530364990234 × 217)
    floor (0.347530364990234 × 131072)
    floor (45551.5)     		tx = 45551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724964141845703 × 217)
    floor (0.724964141845703 × 131072)
    floor (95022.5)     		ty = 95022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45551 / 95022 ti = "17/45551/95022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45551/95022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45551 ÷ 217
    45551 ÷ 131072     		x = 0.347526550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95022 ÷ 217
    95022 ÷ 131072     		y = 0.724960327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347526550292969 × 2 - 1) × π
    -0.304946899414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.95801894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724960327148438 × 2 - 1) × π
    -0.449920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41346742219698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95801894} λ = -0.95801894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41346742219698))-π/2
    2×atan(0.243298201288699)-π/2
    2×0.238661209828594-π/2
    0.477322419657188-1.57079632675     		φ = -1.09347391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95801894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.890442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09347391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.651440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45551 KachelY 95022 -0.95801894 -1.09347391 -54.890442 -62.651440
    Oben rechts KachelX + 1 45552 KachelY 95022 -0.95797100 -1.09347391 -54.887695 -62.651440
    Unten links KachelX 45551 KachelY + 1 95023 -0.95801894 -1.09349593 -54.890442 -62.652702
    Unten rechts KachelX + 1 45552 KachelY + 1 95023 -0.95797100 -1.09349593 -54.887695 -62.652702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09347391--1.09349593) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dl = 140.289420000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09347391--1.09349593) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dr = 140.289420000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95801894--0.95797100) × cos(-1.09347391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459402520320361 × 6371000     		do = 140.313354726619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95801894--0.95797100) × cos(-1.09349593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459382961424157 × 6371000     		du = 140.307380936272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09347391)-sin(-1.09349593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459402520320361-0.459382961424157)×R²
    abs(-0.95797100--0.95801894)×1.95588962043636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95588962043636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95588962043636e-05×40589641000000     		ar = 19684.0601239544m²