Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45550 / 95014
↖ ↑ ↗
← S 62.641344°
W 54.893189°		 ← 140.36 m → S 62.641344°
W 54.890442°		 →
↑
140.35 m
↓
↑
140.35 m
↓
S 62.642606°
W 54.893189°		 ← 140.36 m →
19 700 m²		 S 62.642606°
W 54.890442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347522735595703 y=0.724903106689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347522735595703 × 217)
    floor (0.347522735595703 × 131072)
    floor (45550.5)     		tx = 45550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724903106689453 × 217)
    floor (0.724903106689453 × 131072)
    floor (95014.5)     		ty = 95014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45550 / 95014 ti = "17/45550/95014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45550/95014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45550 ÷ 217
    45550 ÷ 131072     		x = 0.347518920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95014 ÷ 217
    95014 ÷ 131072     		y = 0.724899291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347518920898438 × 2 - 1) × π
    -0.304962158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95806688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724899291992188 × 2 - 1) × π
    -0.449798583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41308392700002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95806688} λ = -0.95806688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41308392700002))-π/2
    2×atan(0.243391522873368)-π/2
    2×0.238749314163326-π/2
    0.477498628326651-1.57079632675     		φ = -1.09329770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95806688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.893189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09329770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.641344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45550 KachelY 95014 -0.95806688 -1.09329770 -54.893189 -62.641344
    Oben rechts KachelX + 1 45551 KachelY 95014 -0.95801894 -1.09329770 -54.890442 -62.641344
    Unten links KachelX 45550 KachelY + 1 95015 -0.95806688 -1.09331973 -54.893189 -62.642606
    Unten rechts KachelX + 1 45551 KachelY + 1 95015 -0.95801894 -1.09331973 -54.890442 -62.642606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09329770--1.09331973) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dl = 140.35313000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09329770--1.09331973) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dr = 140.35313000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95806688--0.95801894) × cos(-1.09329770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459559027877371 × 6371000     		do = 140.361156163035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95806688--0.95801894) × cos(-1.09331973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459539461882407 × 6371000     		du = 140.355180204544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09329770)-sin(-1.09331973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459559027877371-0.459539461882407)×R²
    abs(-0.95801894--0.95806688)×1.95659949641103e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95659949641103e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95659949641103e-05×40589641000000     		ar = 19699.7082264268m²