Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4555 / 13180
↖ ↑ ↗
← S 73.201317°
W 79.914551°		 ← 706.11 m → S 73.201317°
W 79.892578°		 →
↑
705.97 m
↓
↑
705.97 m
↓
S 73.207666°
W 79.914551°		 ← 705.85 m →
498 403 m²		 S 73.207666°
W 79.892578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278045654296875 y=0.804473876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278045654296875 × 214)
    floor (0.278045654296875 × 16384)
    floor (4555.5)     		tx = 4555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.804473876953125 × 214)
    floor (0.804473876953125 × 16384)
    floor (13180.5)     		ty = 13180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4555 / 13180 ti = "14/4555/13180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4555/13180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4555 ÷ 214
    4555 ÷ 16384     		x = 0.27801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13180 ÷ 214
    13180 ÷ 16384     		y = 0.804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4439697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39477203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.60888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.91287404243872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39477203} λ = -1.39477203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91287404243872))-π/2
    2×atan(0.14765540827544)-π/2
    2×0.146596163442569-π/2
    0.293192326885137-1.57079632675     		φ = -1.27760400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39477203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.914551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27760400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.201317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4555 KachelY 13180 -1.39477203 -1.27760400 -79.914551 -73.201317
    Oben rechts KachelX + 1 4556 KachelY 13180 -1.39438854 -1.27760400 -79.892578 -73.201317
    Unten links KachelX 4555 KachelY + 1 13181 -1.39477203 -1.27771481 -79.914551 -73.207666
    Unten rechts KachelX + 1 4556 KachelY + 1 13181 -1.39438854 -1.27771481 -79.892578 -73.207666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27760400--1.27771481) × R
    0.000110810000000017 × 6371000     		dl = 705.970510000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27760400--1.27771481) × R
    0.000110810000000017 × 6371000     		dr = 705.970510000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39477203--1.39438854) × cos(-1.27760400) × R
    0.000383489999999931 × 0.289009790447721 × 6371000     		do = 706.112994476545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39477203--1.39438854) × cos(-1.27771481) × R
    0.000383489999999931 × 0.288903707363854 × 6371000     		du = 705.853810717072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27760400)-sin(-1.27771481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289009790447721-0.288903707363854)×R²
    abs(-1.39438854--1.39477203)×0.000106083083867281×R²
    0.000383489999999931×0.000106083083867281×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106083083867281×40589641000000     		ar = 498403.463291784m²