Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4555 / 12813
↖ ↑ ↗
← S 70.707212°
W 79.914551°		 ← 807.23 m → S 70.707212°
W 79.892578°		 →
↑
807.08 m
↓
↑
807.08 m
↓
S 70.714471°
W 79.914551°		 ← 806.94 m →
651 378 m²		 S 70.714471°
W 79.892578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278045654296875 y=0.782073974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278045654296875 × 214)
    floor (0.278045654296875 × 16384)
    floor (4555.5)     		tx = 4555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782073974609375 × 214)
    floor (0.782073974609375 × 16384)
    floor (12813.5)     		ty = 12813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4555 / 12813 ti = "14/4555/12813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4555/12813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4555 ÷ 214
    4555 ÷ 16384     		x = 0.27801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12813 ÷ 214
    12813 ÷ 16384     		y = 0.78204345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4439697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39477203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.5640869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77213130515424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39477203} λ = -1.39477203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77213130515424))-π/2
    2×atan(0.169970343839229)-π/2
    2×0.16836133383518-π/2
    0.336722667670359-1.57079632675     		φ = -1.23407366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39477203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.914551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23407366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.707212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4555 KachelY 12813 -1.39477203 -1.23407366 -79.914551 -70.707212
    Oben rechts KachelX + 1 4556 KachelY 12813 -1.39438854 -1.23407366 -79.892578 -70.707212
    Unten links KachelX 4555 KachelY + 1 12814 -1.39477203 -1.23420034 -79.914551 -70.714471
    Unten rechts KachelX + 1 4556 KachelY + 1 12814 -1.39438854 -1.23420034 -79.892578 -70.714471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23407366--1.23420034) × R
    0.000126679999999935 × 6371000     		dl = 807.078279999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23407366--1.23420034) × R
    0.000126679999999935 × 6371000     		dr = 807.078279999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39477203--1.39438854) × cos(-1.23407366) × R
    0.000383489999999931 × 0.330395585525972 × 6371000     		do = 807.22738110762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39477203--1.39438854) × cos(-1.23420034) × R
    0.000383489999999931 × 0.330276016901136 × 6371000     		du = 806.935249275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23407366)-sin(-1.23420034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330395585525972-0.330276016901136)×R²
    abs(-1.39438854--1.39477203)×0.000119568624836308×R²
    0.000383489999999931×0.000119568624836308×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119568624836308×40589641000000     		ar = 651377.800556186m²