Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45548 / 95028
↖ ↑ ↗
← S 62.659009°
W 54.898682°		 ← 140.28 m → S 62.659009°
W 54.895935°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
S 62.660271°
W 54.898682°		 ← 140.27 m →
19 679 m²		 S 62.660271°
W 54.895935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347507476806641 y=0.725009918212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347507476806641 × 217)
    floor (0.347507476806641 × 131072)
    floor (45548.5)     		tx = 45548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725009918212891 × 217)
    floor (0.725009918212891 × 131072)
    floor (95028.5)     		ty = 95028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45548 / 95028 ti = "17/45548/95028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45548/95028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45548 ÷ 217
    45548 ÷ 131072     		x = 0.347503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95028 ÷ 217
    95028 ÷ 131072     		y = 0.725006103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.30499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95816275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725006103515625 × 2 - 1) × π
    -0.45001220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4137550435947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95816275} λ = -0.95816275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4137550435947))-π/2
    2×atan(0.243228233582569)-π/2
    2×0.238595151269378-π/2
    0.477190302538756-1.57079632675     		φ = -1.09360602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95816275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.898682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09360602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.659009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45548 KachelY 95028 -0.95816275 -1.09360602 -54.898682 -62.659009
    Oben rechts KachelX + 1 45549 KachelY 95028 -0.95811481 -1.09360602 -54.895935 -62.659009
    Unten links KachelX 45548 KachelY + 1 95029 -0.95816275 -1.09362804 -54.898682 -62.660271
    Unten rechts KachelX + 1 45549 KachelY + 1 95029 -0.95811481 -1.09362804 -54.895935 -62.660271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09360602--1.09362804) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dl = 140.289420000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09360602--1.09362804) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dr = 140.289420000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95816275--0.95811481) × cos(-1.09360602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459285172485027 × 6371000     		do = 140.277513677175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95816275--0.95811481) × cos(-1.09362804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459265612252591 × 6371000     		du = 140.271539478709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09360602)-sin(-1.09362804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459285172485027-0.459265612252591)×R²
    abs(-0.95811481--0.95816275)×1.95602324357669e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95602324357669e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95602324357669e-05×40589641000000     		ar = 19679.0319751562m²