Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45547 / 95027
↖ ↑ ↗
← S 62.657748°
W 54.901428°		 ← 140.28 m → S 62.657748°
W 54.898682°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
S 62.659009°
W 54.901428°		 ← 140.28 m →
19 671 m²		 S 62.659009°
W 54.898682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347499847412109 y=0.725002288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347499847412109 × 217)
    floor (0.347499847412109 × 131072)
    floor (45547.5)     		tx = 45547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725002288818359 × 217)
    floor (0.725002288818359 × 131072)
    floor (95027.5)     		ty = 95027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45547 / 95027 ti = "17/45547/95027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45547/95027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45547 ÷ 217
    45547 ÷ 131072     		x = 0.347496032714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95027 ÷ 217
    95027 ÷ 131072     		y = 0.724998474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347496032714844 × 2 - 1) × π
    -0.305007934570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.95821069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724998474121094 × 2 - 1) × π
    -0.449996948242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.41370710669508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95821069} λ = -0.95821069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41370710669508))-π/2
    2×atan(0.243239893469454)-π/2
    2×0.238606159857273-π/2
    0.477212319714546-1.57079632675     		φ = -1.09358401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95821069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.901428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09358401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.657748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45547 KachelY 95027 -0.95821069 -1.09358401 -54.901428 -62.657748
    Oben rechts KachelX + 1 45548 KachelY 95027 -0.95816275 -1.09358401 -54.898682 -62.657748
    Unten links KachelX 45547 KachelY + 1 95028 -0.95821069 -1.09360602 -54.901428 -62.659009
    Unten rechts KachelX + 1 45548 KachelY + 1 95028 -0.95816275 -1.09360602 -54.898682 -62.659009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09358401--1.09360602) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dl = 140.225709999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09358401--1.09360602) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dr = 140.225709999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95821069--0.95816275) × cos(-1.09358401) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.459304723611976 × 6371000     		do = 140.283485094916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95821069--0.95816275) × cos(-1.09360602) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.459285172485027 × 6371000     		du = 140.2775136775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09358401)-sin(-1.09360602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459304723611976-0.459285172485027)×R²
    abs(-0.95816275--0.95821069)×1.9551126949513e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9551126949513e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9551126949513e-05×40589641000000     		ar = 19670.9326262228m²