Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45546 / 94874
↖ ↑ ↗
← S 62.464106°
W 54.904175°		 ← 141.17 m → S 62.464106°
W 54.901428°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
S 62.465376°
W 54.904175°		 ← 141.16 m →
19 930 m²		 S 62.465376°
W 54.901428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347492218017578 y=0.723834991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347492218017578 × 217)
    floor (0.347492218017578 × 131072)
    floor (45546.5)     		tx = 45546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723834991455078 × 217)
    floor (0.723834991455078 × 131072)
    floor (94874.5)     		ty = 94874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45546 / 94874 ti = "17/45546/94874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45546/94874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45546 ÷ 217
    45546 ÷ 131072     		x = 0.347488403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94874 ÷ 217
    94874 ÷ 131072     		y = 0.723831176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347488403320312 × 2 - 1) × π
    -0.305023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95825862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723831176757812 × 2 - 1) × π
    -0.447662353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40637276105321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95825862} λ = -0.95825862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40637276105321))-π/2
    2×atan(0.245030457202118)-π/2
    2×0.240296005110561-π/2
    0.480592010221123-1.57079632675     		φ = -1.09020432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95825862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.904175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09020432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.464106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45546 KachelY 94874 -0.95825862 -1.09020432 -54.904175 -62.464106
    Oben rechts KachelX + 1 45547 KachelY 94874 -0.95821069 -1.09020432 -54.901428 -62.464106
    Unten links KachelX 45546 KachelY + 1 94875 -0.95825862 -1.09022648 -54.904175 -62.465376
    Unten rechts KachelX + 1 45547 KachelY + 1 94875 -0.95821069 -1.09022648 -54.901428 -62.465376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09020432--1.09022648) × R
    2.21600000001043e-05 × 6371000     		dl = 141.181360000665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09020432--1.09022648) × R
    2.21600000001043e-05 × 6371000     		dr = 141.181360000665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95825862--0.95821069) × cos(-1.09020432) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.462304201611791 × 6371000     		do = 141.170149481465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95825862--0.95821069) × cos(-1.09022648) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.462284551752258 × 6371000     		du = 141.164149160469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09020432)-sin(-1.09022648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462304201611791-0.462284551752258)×R²
    abs(-0.95821069--0.95825862)×1.96498595328443e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.96498595328443e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.96498595328443e-05×40589641000000     		ar = 19930.1701293022m²