Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45544 / 94999
↖ ↑ ↗
← S 62.622405°
W 54.909668°		 ← 140.45 m → S 62.622405°
W 54.906921°		 →
↑
140.42 m
↓
↑
140.42 m
↓
S 62.623668°
W 54.909668°		 ← 140.44 m →
19 721 m²		 S 62.623668°
W 54.906921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347476959228516 y=0.724788665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347476959228516 × 217)
    floor (0.347476959228516 × 131072)
    floor (45544.5)     		tx = 45544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724788665771484 × 217)
    floor (0.724788665771484 × 131072)
    floor (94999.5)     		ty = 94999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45544 / 94999 ti = "17/45544/94999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45544/94999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45544 ÷ 217
    45544 ÷ 131072     		x = 0.34747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94999 ÷ 217
    94999 ÷ 131072     		y = 0.724784851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.3050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95835450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724784851074219 × 2 - 1) × π
    -0.449569702148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.41236487350571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95835450} λ = -0.95835450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41236487350571))-π/2
    2×atan(0.243566597334782)-π/2
    2×0.238914590692498-π/2
    0.477829181384995-1.57079632675     		φ = -1.09296715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95835450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09296715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.622405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45544 KachelY 94999 -0.95835450 -1.09296715 -54.909668 -62.622405
    Oben rechts KachelX + 1 45545 KachelY 94999 -0.95830656 -1.09296715 -54.906921 -62.622405
    Unten links KachelX 45544 KachelY + 1 95000 -0.95835450 -1.09298919 -54.909668 -62.623668
    Unten rechts KachelX + 1 45545 KachelY + 1 95000 -0.95830656 -1.09298919 -54.906921 -62.623668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09296715--1.09298919) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dl = 140.416839999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09296715--1.09298919) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dr = 140.416839999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95835450--0.95830656) × cos(-1.09296715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459852579832012 × 6371000     		do = 140.450814486009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95835450--0.95830656) × cos(-1.09298919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459833008304508 × 6371000     		du = 140.444836837738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09296715)-sin(-1.09298919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459852579832012-0.459833008304508)×R²
    abs(-0.95830656--0.95835450)×1.95715275040365e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95715275040365e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95715275040365e-05×40589641000000     		ar = 19721.2398650601m²