Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45543 / 94871
↖ ↑ ↗
← S 62.460297°
W 54.912414°		 ← 141.19 m → S 62.460297°
W 54.909668°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
S 62.461566°
W 54.912414°		 ← 141.18 m →
19 933 m²		 S 62.461566°
W 54.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347469329833984 y=0.723812103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347469329833984 × 217)
    floor (0.347469329833984 × 131072)
    floor (45543.5)     		tx = 45543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723812103271484 × 217)
    floor (0.723812103271484 × 131072)
    floor (94871.5)     		ty = 94871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45543 / 94871 ti = "17/45543/94871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45543/94871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45543 ÷ 217
    45543 ÷ 131072     		x = 0.347465515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94871 ÷ 217
    94871 ÷ 131072     		y = 0.723808288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347465515136719 × 2 - 1) × π
    -0.305068969726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.95840243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723808288574219 × 2 - 1) × π
    -0.447616577148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.40622895035435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95840243} λ = -0.95840243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40622895035435))-π/2
    2×atan(0.245065697737333)-π/2
    2×0.240329249375525-π/2
    0.48065849875105-1.57079632675     		φ = -1.09013783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95840243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.912414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09013783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.460297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45543 KachelY 94871 -0.95840243 -1.09013783 -54.912414 -62.460297
    Oben rechts KachelX + 1 45544 KachelY 94871 -0.95835450 -1.09013783 -54.909668 -62.460297
    Unten links KachelX 45543 KachelY + 1 94872 -0.95840243 -1.09015999 -54.912414 -62.461566
    Unten rechts KachelX + 1 45544 KachelY + 1 94872 -0.95835450 -1.09015999 -54.909668 -62.461566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09013783--1.09015999) × R
    2.21600000001043e-05 × 6371000     		dl = 141.181360000665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09013783--1.09015999) × R
    2.21600000001043e-05 × 6371000     		dr = 141.181360000665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95840243--0.95835450) × cos(-1.09013783) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.462363158695127 × 6371000     		do = 141.188152736443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95840243--0.95835450) × cos(-1.09015999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.46234350951679 × 6371000     		du = 141.182152623458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09013783)-sin(-1.09015999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462363158695127-0.46234350951679)×R²
    abs(-0.95835450--0.95840243)×1.96491783363562e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96491783363562e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96491783363562e-05×40589641000000     		ar = 19932.711868131m²