Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45542 / 94762
↖ ↑ ↗
← S 62.321554°
W 54.915161°		 ← 141.87 m → S 62.321554°
W 54.912414°		 →
↑
141.88 m
↓
↑
141.88 m
↓
S 62.322830°
W 54.915161°		 ← 141.87 m →
20 129 m²		 S 62.322830°
W 54.912414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347461700439453 y=0.722980499267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347461700439453 × 217)
    floor (0.347461700439453 × 131072)
    floor (45542.5)     		tx = 45542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722980499267578 × 217)
    floor (0.722980499267578 × 131072)
    floor (94762.5)     		ty = 94762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45542 / 94762 ti = "17/45542/94762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45542/94762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45542 ÷ 217
    45542 ÷ 131072     		x = 0.347457885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94762 ÷ 217
    94762 ÷ 131072     		y = 0.722976684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347457885742188 × 2 - 1) × π
    -0.305084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95845037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722976684570312 × 2 - 1) × π
    -0.445953369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40100382829576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95845037} λ = -0.95845037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40100382829576))-π/2
    2×atan(0.246349547134325)-π/2
    2×0.241540002755622-π/2
    0.483080005511244-1.57079632675     		φ = -1.08771632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95845037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.915161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08771632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.321554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45542 KachelY 94762 -0.95845037 -1.08771632 -54.915161 -62.321554
    Oben rechts KachelX + 1 45543 KachelY 94762 -0.95840243 -1.08771632 -54.912414 -62.321554
    Unten links KachelX 45542 KachelY + 1 94763 -0.95845037 -1.08773859 -54.915161 -62.322830
    Unten rechts KachelX + 1 45543 KachelY + 1 94763 -0.95840243 -1.08773859 -54.912414 -62.322830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08771632--1.08773859) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dl = 141.882170000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08771632--1.08773859) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dr = 141.882170000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95845037--0.95840243) × cos(-1.08771632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464508931292351 × 6371000     		do = 141.872984076482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95845037--0.95840243) × cos(-1.08773859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464489209568122 × 6371000     		du = 141.866960554266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08771632)-sin(-1.08773859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464508931292351-0.464489209568122)×R²
    abs(-0.95840243--0.95845037)×1.97217242291492e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97217242291492e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97217242291492e-05×40589641000000     		ar = 20128.8195308032m²