Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45540 / 95140
↖ ↑ ↗
← S 62.799957°
W 54.920654°		 ← 139.58 m → S 62.799957°
W 54.917908°		 →
↑
139.59 m
↓
↑
139.59 m
↓
S 62.801212°
W 54.920654°		 ← 139.57 m →
19 483 m²		 S 62.801212°
W 54.917908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347446441650391 y=0.725864410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347446441650391 × 217)
    floor (0.347446441650391 × 131072)
    floor (45540.5)     		tx = 45540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725864410400391 × 217)
    floor (0.725864410400391 × 131072)
    floor (95140.5)     		ty = 95140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45540 / 95140 ti = "17/45540/95140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45540/95140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45540 ÷ 217
    45540 ÷ 131072     		x = 0.347442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95140 ÷ 217
    95140 ÷ 131072     		y = 0.725860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.30511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95854624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725860595703125 × 2 - 1) × π
    -0.45172119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41912397635214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95854624} λ = -0.95854624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41912397635214))-π/2
    2×atan(0.241925856866721)-π/2
    2×0.237365152285103-π/2
    0.474730304570205-1.57079632675     		φ = -1.09606602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95854624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.920654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09606602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.799957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45540 KachelY 95140 -0.95854624 -1.09606602 -54.920654 -62.799957
    Oben rechts KachelX + 1 45541 KachelY 95140 -0.95849831 -1.09606602 -54.917908 -62.799957
    Unten links KachelX 45540 KachelY + 1 95141 -0.95854624 -1.09608793 -54.920654 -62.801212
    Unten rechts KachelX + 1 45541 KachelY + 1 95141 -0.95849831 -1.09608793 -54.917908 -62.801212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09606602--1.09608793) × R
    2.19099999998473e-05 × 6371000     		dl = 139.588609999027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09606602--1.09608793) × R
    2.19099999998473e-05 × 6371000     		dr = 139.588609999027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95854624--0.95849831) × cos(-1.09606602) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.457098594345369 × 6371000     		do = 139.580554679534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95854624--0.95849831) × cos(-1.09608793) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.457079107130431 × 6371000     		du = 139.574604024021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09606602)-sin(-1.09608793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457098594345369-0.457079107130431)×R²
    abs(-0.95849831--0.95854624)×1.9487214937941e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9487214937941e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9487214937941e-05×40589641000000     		ar = 19483.4402895801m²