Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45539 / 94891
↖ ↑ ↗
← S 62.485684°
W 54.923401°		 ← 141.10 m → S 62.485684°
W 54.920654°		 →
↑
141.12 m
↓
↑
141.12 m
↓
S 62.486953°
W 54.923401°		 ← 141.09 m →
19 911 m²		 S 62.486953°
W 54.920654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347438812255859 y=0.723964691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347438812255859 × 217)
    floor (0.347438812255859 × 131072)
    floor (45539.5)     		tx = 45539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723964691162109 × 217)
    floor (0.723964691162109 × 131072)
    floor (94891.5)     		ty = 94891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45539 / 94891 ti = "17/45539/94891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45539/94891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45539 ÷ 217
    45539 ÷ 131072     		x = 0.347434997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94891 ÷ 217
    94891 ÷ 131072     		y = 0.723960876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347434997558594 × 2 - 1) × π
    -0.305130004882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.95859418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723960876464844 × 2 - 1) × π
    -0.447921752929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.40718768834675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95859418} λ = -0.95859418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40718768834675))-π/2
    2×atan(0.244830856535857)-π/2
    2×0.240107701001607-π/2
    0.480215402003214-1.57079632675     		φ = -1.09058092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95859418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.923401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09058092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.485684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45539 KachelY 94891 -0.95859418 -1.09058092 -54.923401 -62.485684
    Oben rechts KachelX + 1 45540 KachelY 94891 -0.95854624 -1.09058092 -54.920654 -62.485684
    Unten links KachelX 45539 KachelY + 1 94892 -0.95859418 -1.09060307 -54.923401 -62.486953
    Unten rechts KachelX + 1 45540 KachelY + 1 94892 -0.95854624 -1.09060307 -54.920654 -62.486953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09058092--1.09060307) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dl = 141.117649999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09058092--1.09060307) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dr = 141.117649999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95859418--0.95854624) × cos(-1.09058092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461970229560114 × 6371000     		do = 141.097599221275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95859418--0.95854624) × cos(-1.09060307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461950584712974 × 6371000     		du = 141.0915991793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09058092)-sin(-1.09060307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461970229560114-0.461950584712974)×R²
    abs(-0.95854624--0.95859418)×1.96448471398436e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96448471398436e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96448471398436e-05×40589641000000     		ar = 19910.9382675721m²