Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45538 / 94888
↖ ↑ ↗
← S 62.481877°
W 54.926148°		 ← 141.12 m → S 62.481877°
W 54.923401°		 →
↑
141.12 m
↓
↑
141.12 m
↓
S 62.483146°
W 54.926148°		 ← 141.11 m →
19 913 m²		 S 62.483146°
W 54.923401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347431182861328 y=0.723941802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347431182861328 × 217)
    floor (0.347431182861328 × 131072)
    floor (45538.5)     		tx = 45538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723941802978516 × 217)
    floor (0.723941802978516 × 131072)
    floor (94888.5)     		ty = 94888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45538 / 94888 ti = "17/45538/94888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45538/94888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45538 ÷ 217
    45538 ÷ 131072     		x = 0.347427368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94888 ÷ 217
    94888 ÷ 131072     		y = 0.72393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347427368164062 × 2 - 1) × π
    -0.305145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95864212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.4478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40704387764789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95864212} λ = -0.95864212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40704387764789))-π/2
    2×atan(0.244866068364296)-π/2
    2×0.240140921250554-π/2
    0.480281842501108-1.57079632675     		φ = -1.09051448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95864212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.926148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09051448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.481877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45538 KachelY 94888 -0.95864212 -1.09051448 -54.926148 -62.481877
    Oben rechts KachelX + 1 45539 KachelY 94888 -0.95859418 -1.09051448 -54.923401 -62.481877
    Unten links KachelX 45538 KachelY + 1 94889 -0.95864212 -1.09053663 -54.926148 -62.483146
    Unten rechts KachelX + 1 45539 KachelY + 1 94889 -0.95859418 -1.09053663 -54.923401 -62.483146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09051448--1.09053663) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dl = 141.117649999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09051448--1.09053663) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dr = 141.117649999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95864212--0.95859418) × cos(-1.09051448) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.46202915387293 × 6371000     		do = 141.115596223448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95864212--0.95859418) × cos(-1.09053663) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.462009509705675 × 6371000     		du = 141.109596389127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09051448)-sin(-1.09053663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46202915387293-0.462009509705675)×R²
    abs(-0.95859418--0.95864212)×1.96441672543068e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96441672543068e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96441672543068e-05×40589641000000     		ar = 19913.4779769082m²