Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45535 / 94893
↖ ↑ ↗
← S 62.488222°
W 54.934387°		 ← 141.09 m → S 62.488222°
W 54.931640°		 →
↑
141.12 m
↓
↑
141.12 m
↓
S 62.489491°
W 54.934387°		 ← 141.08 m →
19 909 m²		 S 62.489491°
W 54.931640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347408294677734 y=0.723979949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347408294677734 × 217)
    floor (0.347408294677734 × 131072)
    floor (45535.5)     		tx = 45535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723979949951172 × 217)
    floor (0.723979949951172 × 131072)
    floor (94893.5)     		ty = 94893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45535 / 94893 ti = "17/45535/94893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45535/94893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45535 ÷ 217
    45535 ÷ 131072     		x = 0.347404479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94893 ÷ 217
    94893 ÷ 131072     		y = 0.723976135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347404479980469 × 2 - 1) × π
    -0.305191040039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.95878593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723976135253906 × 2 - 1) × π
    -0.447952270507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.40728356214599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95878593} λ = -0.95878593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40728356214599))-π/2
    2×atan(0.24480738479665)-π/2
    2×0.240085556522782-π/2
    0.480171113045565-1.57079632675     		φ = -1.09062521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95878593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.934387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09062521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.488222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45535 KachelY 94893 -0.95878593 -1.09062521 -54.934387 -62.488222
    Oben rechts KachelX + 1 45536 KachelY 94893 -0.95873799 -1.09062521 -54.931640 -62.488222
    Unten links KachelX 45535 KachelY + 1 94894 -0.95878593 -1.09064736 -54.934387 -62.489491
    Unten rechts KachelX + 1 45536 KachelY + 1 94894 -0.95873799 -1.09064736 -54.931640 -62.489491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09062521--1.09064736) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dl = 141.117649999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09062521--1.09064736) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dr = 141.117649999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95878593--0.95873799) × cos(-1.09062521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46193094850835 × 6371000     		do = 141.085601776972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95878593--0.95873799) × cos(-1.09064736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461911303208035 × 6371000     		du = 141.079601596586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09062521)-sin(-1.09064736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46193094850835-0.461911303208035)×R²
    abs(-0.95873799--0.95878593)×1.96453003146191e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96453003146191e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96453003146191e-05×40589641000000     		ar = 19909.2452066101m²