Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45532 / 94892
↖ ↑ ↗
← S 62.486953°
W 54.942627°		 ← 141.09 m → S 62.486953°
W 54.939880°		 →
↑
141.05 m
↓
↑
141.05 m
↓
S 62.488222°
W 54.942627°		 ← 141.09 m →
19 901 m²		 S 62.488222°
W 54.939880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347385406494141 y=0.723972320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347385406494141 × 217)
    floor (0.347385406494141 × 131072)
    floor (45532.5)     		tx = 45532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723972320556641 × 217)
    floor (0.723972320556641 × 131072)
    floor (94892.5)     		ty = 94892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45532 / 94892 ti = "17/45532/94892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45532/94892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45532 ÷ 217
    45532 ÷ 131072     		x = 0.347381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94892 ÷ 217
    94892 ÷ 131072     		y = 0.723968505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.30523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95892974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723968505859375 × 2 - 1) × π
    -0.44793701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40723562524637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95892974} λ = -0.95892974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40723562524637))-π/2
    2×atan(0.244819120384963)-π/2
    2×0.240096628526824-π/2
    0.480193257053648-1.57079632675     		φ = -1.09060307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95892974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.942627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09060307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.486953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45532 KachelY 94892 -0.95892974 -1.09060307 -54.942627 -62.486953
    Oben rechts KachelX + 1 45533 KachelY 94892 -0.95888180 -1.09060307 -54.939880 -62.486953
    Unten links KachelX 45532 KachelY + 1 94893 -0.95892974 -1.09062521 -54.942627 -62.488222
    Unten rechts KachelX + 1 45533 KachelY + 1 94893 -0.95888180 -1.09062521 -54.939880 -62.488222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09060307--1.09062521) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dl = 141.053940000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09060307--1.09062521) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dr = 141.053940000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95892974--0.95888180) × cos(-1.09060307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461950584712974 × 6371000     		do = 141.0915991793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95892974--0.95888180) × cos(-1.09062521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46193094850835 × 6371000     		du = 141.085601776972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09060307)-sin(-1.09062521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461950584712974-0.46193094850835)×R²
    abs(-0.95888180--0.95892974)×1.96362046243626e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96362046243626e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96362046243626e-05×40589641000000     		ar = 19901.1029874936m²