Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4553 / 12826
↖ ↑ ↗
← S 70.801366°
W 79.958496°		 ← 803.44 m → S 70.801366°
W 79.936524°		 →
↑
803.26 m
↓
↑
803.26 m
↓
S 70.808590°
W 79.958496°		 ← 803.15 m →
645 248 m²		 S 70.808590°
W 79.936524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277923583984375 y=0.782867431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277923583984375 × 214)
    floor (0.277923583984375 × 16384)
    floor (4553.5)     		tx = 4553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782867431640625 × 214)
    floor (0.782867431640625 × 16384)
    floor (12826.5)     		ty = 12826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4553 / 12826 ti = "14/4553/12826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4553/12826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4553 ÷ 214
    4553 ÷ 16384     		x = 0.27789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12826 ÷ 214
    12826 ÷ 16384     		y = 0.7828369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.4442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39553902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7828369140625 × 2 - 1) × π
    -0.565673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77711674271472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39553902} λ = -1.39553902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77711674271472))-π/2
    2×atan(0.169125076068461)-π/2
    2×0.167539685559188-π/2
    0.335079371118377-1.57079632675     		φ = -1.23571696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39553902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.958496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23571696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.801366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4553 KachelY 12826 -1.39553902 -1.23571696 -79.958496 -70.801366
    Oben rechts KachelX + 1 4554 KachelY 12826 -1.39515553 -1.23571696 -79.936524 -70.801366
    Unten links KachelX 4553 KachelY + 1 12827 -1.39553902 -1.23584304 -79.958496 -70.808590
    Unten rechts KachelX + 1 4554 KachelY + 1 12827 -1.39515553 -1.23584304 -79.936524 -70.808590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23571696--1.23584304) × R
    0.000126080000000028 × 6371000     		dl = 803.255680000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23571696--1.23584304) × R
    0.000126080000000028 × 6371000     		dr = 803.255680000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39553902--1.39515553) × cos(-1.23571696) × R
    0.000383489999999931 × 0.328844123657694 × 6371000     		do = 803.436826524923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39553902--1.39515553) × cos(-1.23584304) × R
    0.000383489999999931 × 0.328725053082716 × 6371000     		du = 803.145911535082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23571696)-sin(-1.23584304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328844123657694-0.328725053082716)×R²
    abs(-1.39515553--1.39553902)×0.000119070574978286×R²
    0.000383489999999931×0.000119070574978286×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119070574978286×40589641000000     		ar = 645248.355724465m²