Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45529 / 95015
↖ ↑ ↗
← S 62.642606°
W 54.950867°		 ← 140.36 m → S 62.642606°
W 54.948120°		 →
↑
140.35 m
↓
↑
140.35 m
↓
S 62.643868°
W 54.950867°		 ← 140.35 m →
19 699 m²		 S 62.643868°
W 54.948120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347362518310547 y=0.724910736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347362518310547 × 217)
    floor (0.347362518310547 × 131072)
    floor (45529.5)     		tx = 45529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724910736083984 × 217)
    floor (0.724910736083984 × 131072)
    floor (95015.5)     		ty = 95015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45529 / 95015 ti = "17/45529/95015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45529/95015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45529 ÷ 217
    45529 ÷ 131072     		x = 0.347358703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95015 ÷ 217
    95015 ÷ 131072     		y = 0.724906921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347358703613281 × 2 - 1) × π
    -0.305282592773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.95907355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724906921386719 × 2 - 1) × π
    -0.449813842773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.41313186389964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95907355} λ = -0.95907355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41313186389964))-π/2
    2×atan(0.243379855718014)-π/2
    2×0.238738299480276-π/2
    0.477476598960553-1.57079632675     		φ = -1.09331973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95907355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.950867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09331973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.642606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45529 KachelY 95015 -0.95907355 -1.09331973 -54.950867 -62.642606
    Oben rechts KachelX + 1 45530 KachelY 95015 -0.95902561 -1.09331973 -54.948120 -62.642606
    Unten links KachelX 45529 KachelY + 1 95016 -0.95907355 -1.09334176 -54.950867 -62.643868
    Unten rechts KachelX + 1 45530 KachelY + 1 95016 -0.95902561 -1.09334176 -54.948120 -62.643868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09331973--1.09334176) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dl = 140.35313000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09331973--1.09334176) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dr = 140.35313000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95907355--0.95902561) × cos(-1.09331973) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.459539461882407 × 6371000     		do = 140.355180204869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95907355--0.95902561) × cos(-1.09334176) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.459519895664419 × 6371000     		du = 140.349204178261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09331973)-sin(-1.09334176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459539461882407-0.459519895664419)×R²
    abs(-0.95902561--0.95907355)×1.95662179881539e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95662179881539e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95662179881539e-05×40589641000000     		ar = 19698.8694774525m²