Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45526 / 95023
↖ ↑ ↗
← S 62.652702°
W 54.959106°		 ← 140.31 m → S 62.652702°
W 54.956360°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
S 62.653963°
W 54.959106°		 ← 140.30 m →
19 683 m²		 S 62.653963°
W 54.956360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347339630126953 y=0.724971771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347339630126953 × 217)
    floor (0.347339630126953 × 131072)
    floor (45526.5)     		tx = 45526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724971771240234 × 217)
    floor (0.724971771240234 × 131072)
    floor (95023.5)     		ty = 95023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45526 / 95023 ti = "17/45526/95023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45526/95023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45526 ÷ 217
    45526 ÷ 131072     		x = 0.347335815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95023 ÷ 217
    95023 ÷ 131072     		y = 0.724967956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347335815429688 × 2 - 1) × π
    -0.305328369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95921736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724967956542969 × 2 - 1) × π
    -0.449935913085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.4135153590966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95921736} λ = -0.95921736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4135153590966))-π/2
    2×atan(0.243286538606785)-π/2
    2×0.238650198896701-π/2
    0.477300397793403-1.57079632675     		φ = -1.09349593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95921736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.959106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09349593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.652702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45526 KachelY 95023 -0.95921736 -1.09349593 -54.959106 -62.652702
    Oben rechts KachelX + 1 45527 KachelY 95023 -0.95916942 -1.09349593 -54.956360 -62.652702
    Unten links KachelX 45526 KachelY + 1 95024 -0.95921736 -1.09351795 -54.959106 -62.653963
    Unten rechts KachelX + 1 45527 KachelY + 1 95024 -0.95916942 -1.09351795 -54.956360 -62.653963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09349593--1.09351795) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dl = 140.289420000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09349593--1.09351795) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dr = 140.289420000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95921736--0.95916942) × cos(-1.09349593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459382961424157 × 6371000     		do = 140.307380936272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95921736--0.95916942) × cos(-1.09351795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459363402305207 × 6371000     		du = 140.301407077893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09349593)-sin(-1.09351795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459382961424157-0.459363402305207)×R²
    abs(-0.95916942--0.95921736)×1.95591189501299e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95591189501299e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95591189501299e-05×40589641000000     		ar = 19683.2220595483m²