Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45524 / 94940
↖ ↑ ↗
← S 62.547793°
W 54.964600°		 ← 140.80 m → S 62.547793°
W 54.961853°		 →
↑
140.80 m
↓
↑
140.80 m
↓
S 62.549059°
W 54.964600°		 ← 140.80 m →
19 825 m²		 S 62.549059°
W 54.961853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347324371337891 y=0.724338531494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347324371337891 × 217)
    floor (0.347324371337891 × 131072)
    floor (45524.5)     		tx = 45524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724338531494141 × 217)
    floor (0.724338531494141 × 131072)
    floor (94940.5)     		ty = 94940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45524 / 94940 ti = "17/45524/94940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45524/94940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45524 ÷ 217
    45524 ÷ 131072     		x = 0.347320556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94940 ÷ 217
    94940 ÷ 131072     		y = 0.724334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347320556640625 × 2 - 1) × π
    -0.30535888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95931324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.44866943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40953659642813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95931324} λ = -0.95931324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40953659642813))-π/2
    2×atan(0.244256446240963)-π/2
    2×0.239565703060911-π/2
    0.479131406121823-1.57079632675     		φ = -1.09166492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95931324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.964600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09166492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.547793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45524 KachelY 94940 -0.95931324 -1.09166492 -54.964600 -62.547793
    Oben rechts KachelX + 1 45525 KachelY 94940 -0.95926530 -1.09166492 -54.961853 -62.547793
    Unten links KachelX 45524 KachelY + 1 94941 -0.95931324 -1.09168702 -54.964600 -62.549059
    Unten rechts KachelX + 1 45525 KachelY + 1 94941 -0.95926530 -1.09168702 -54.961853 -62.549059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09166492--1.09168702) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dl = 140.799100000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09166492--1.09168702) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dr = 140.799100000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95931324--0.95926530) × cos(-1.09166492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461008563679874 × 6371000     		do = 140.80388170817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95931324--0.95926530) × cos(-1.09168702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460988952122626 × 6371000     		du = 140.797891833785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09166492)-sin(-1.09168702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461008563679874-0.460988952122626)×R²
    abs(-0.95926530--0.95931324)×1.96115572481115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96115572481115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96115572481115e-05×40589641000000     		ar = 19824.6381373845m²