Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45520 / 95152
↖ ↑ ↗
← S 62.815019°
W 54.975586°		 ← 139.51 m → S 62.815019°
W 54.972840°		 →
↑
139.52 m
↓
↑
139.52 m
↓
S 62.816274°
W 54.975586°		 ← 139.50 m →
19 465 m²		 S 62.816274°
W 54.972840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347293853759766 y=0.725955963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347293853759766 × 217)
    floor (0.347293853759766 × 131072)
    floor (45520.5)     		tx = 45520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725955963134766 × 217)
    floor (0.725955963134766 × 131072)
    floor (95152.5)     		ty = 95152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45520 / 95152 ti = "17/45520/95152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45520/95152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45520 ÷ 217
    45520 ÷ 131072     		x = 0.3472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95152 ÷ 217
    95152 ÷ 131072     		y = 0.7259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.305419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95950498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41969921914758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95950498} λ = -0.95950498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41969921914758))-π/2
    2×atan(0.241786730780004)-π/2
    2×0.2372337145772-π/2
    0.474467429154399-1.57079632675     		φ = -1.09632890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95950498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09632890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.815019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45520 KachelY 95152 -0.95950498 -1.09632890 -54.975586 -62.815019
    Oben rechts KachelX + 1 45521 KachelY 95152 -0.95945705 -1.09632890 -54.972840 -62.815019
    Unten links KachelX 45520 KachelY + 1 95153 -0.95950498 -1.09635080 -54.975586 -62.816274
    Unten rechts KachelX + 1 45521 KachelY + 1 95153 -0.95945705 -1.09635080 -54.972840 -62.816274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09632890--1.09635080) × R
    2.18999999999081e-05 × 6371000     		dl = 139.524899999415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09632890--1.09635080) × R
    2.18999999999081e-05 × 6371000     		dr = 139.524899999415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95950498--0.95945705) × cos(-1.09632890) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.456864768867899 × 6371000     		do = 139.509153256745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95950498--0.95945705) × cos(-1.09635080) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.456845287916401 × 6371000     		du = 139.503204513849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09632890)-sin(-1.09635080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456864768867899-0.456845287916401)×R²
    abs(-0.95945705--0.95950498)×1.94809514979521e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.94809514979521e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.94809514979521e-05×40589641000000     		ar = 19464.5856590961m²