Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4552 / 4940
↖ ↑ ↗
← S 34.741613°
E 20.039063°		 ← 4 015.38 m → S 34.741613°
E 20.083008°		 →
↑
4 014.49 m
↓
↑
4 014.49 m
↓
S 34.777716°
E 20.039063°		 ← 4 013.62 m →
16 116 198 m²		 S 34.777716°
E 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55572509765625 y=0.60308837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55572509765625 × 213)
    floor (0.55572509765625 × 8192)
    floor (4552.5)     		tx = 4552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60308837890625 × 213)
    floor (0.60308837890625 × 8192)
    floor (4940.5)     		ty = 4940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4552 / 4940 ti = "13/4552/4940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4552/4940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4552 ÷ 213
    4552 ÷ 8192     		x = 0.5556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4940 ÷ 213
    4940 ÷ 8192     		y = 0.60302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5556640625 × 2 - 1) × π
    0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60302734375 × 2 - 1) × π
    -0.2060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.647339892469238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34974762} λ = 0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.647339892469238))-π/2
    2×atan(0.523436323344921)-π/2
    2×0.482220400626736-π/2
    0.964440801253472-1.57079632675     		φ = -0.60635553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60635553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.741613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4552 KachelY 4940 0.34974762 -0.60635553 20.039063 -34.741613
    Oben rechts KachelX + 1 4553 KachelY 4940 0.35051461 -0.60635553 20.083008 -34.741613
    Unten links KachelX 4552 KachelY + 1 4941 0.34974762 -0.60698565 20.039063 -34.777716
    Unten rechts KachelX + 1 4553 KachelY + 1 4941 0.35051461 -0.60698565 20.083008 -34.777716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60635553--0.60698565) × R
    0.000630120000000067 × 6371000     		dl = 4014.49452000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60635553--0.60698565) × R
    0.000630120000000067 × 6371000     		dr = 4014.49452000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34974762-0.35051461) × cos(-0.60635553) × R
    0.000766990000000023 × 0.821730368153368 × 6371000     		do = 4015.37993017078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34974762-0.35051461) × cos(-0.60698565) × R
    0.000766990000000023 × 0.821371114475261 × 6371000     		du = 4013.62443948331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60635553)-sin(-0.60698565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821730368153368-0.821371114475261)×R²
    abs(0.35051461-0.34974762)×0.000359253678107074×R²
    0.000766990000000023×0.000359253678107074×6371000²
    0.000766990000000023×0.000359253678107074×40589641000000     		ar = 16116197.5547661m²