Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4552 / 4936
↖ ↑ ↗
← S 34.597042°
E 20.039063°		 ← 4 022.39 m → S 34.597042°
E 20.083008°		 →
↑
4 021.50 m
↓
↑
4 021.50 m
↓
S 34.633208°
E 20.039063°		 ← 4 020.64 m →
16 172 544 m²		 S 34.633208°
E 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55572509765625 y=0.60260009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55572509765625 × 213)
    floor (0.55572509765625 × 8192)
    floor (4552.5)     		tx = 4552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60260009765625 × 213)
    floor (0.60260009765625 × 8192)
    floor (4936.5)     		ty = 4936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4552 / 4936 ti = "13/4552/4936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4552/4936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4552 ÷ 213
    4552 ÷ 8192     		x = 0.5556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4936 ÷ 213
    4936 ÷ 8192     		y = 0.6025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5556640625 × 2 - 1) × π
    0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    -0.205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.644271930893555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34974762} λ = 0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.644271930893555))-π/2
    2×atan(0.525044671786337)-π/2
    2×0.483482020452084-π/2
    0.966964040904168-1.57079632675     		φ = -0.60383229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60383229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.597042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4552 KachelY 4936 0.34974762 -0.60383229 20.039063 -34.597042
    Oben rechts KachelX + 1 4553 KachelY 4936 0.35051461 -0.60383229 20.083008 -34.597042
    Unten links KachelX 4552 KachelY + 1 4937 0.34974762 -0.60446351 20.039063 -34.633208
    Unten rechts KachelX + 1 4553 KachelY + 1 4937 0.35051461 -0.60446351 20.083008 -34.633208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60383229--0.60446351) × R
    0.000631219999999932 × 6371000     		dl = 4021.50261999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60383229--0.60446351) × R
    0.000631219999999932 × 6371000     		dr = 4021.50261999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34974762-0.35051461) × cos(-0.60383229) × R
    0.000766990000000023 × 0.823165685885591 × 6371000     		do = 4022.39360063831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34974762-0.35051461) × cos(-0.60446351) × R
    0.000766990000000023 × 0.822807114417136 × 6371000     		du = 4020.64144356372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60383229)-sin(-0.60446351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823165685885591-0.822807114417136)×R²
    abs(0.35051461-0.34974762)×0.000358571468455859×R²
    0.000766990000000023×0.000358571468455859×6371000²
    0.000766990000000023×0.000358571468455859×40589641000000     		ar = 16172543.7884864m²