Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4552 / 13150
↖ ↑ ↗
← S 73.009755°
W 79.980469°		 ← 713.95 m → S 73.009755°
W 79.958496°		 →
↑
713.81 m
↓
↑
713.81 m
↓
S 73.016174°
W 79.980469°		 ← 713.69 m →
509 527 m²		 S 73.016174°
W 79.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277862548828125 y=0.802642822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277862548828125 × 214)
    floor (0.277862548828125 × 16384)
    floor (4552.5)     		tx = 4552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802642822265625 × 214)
    floor (0.802642822265625 × 16384)
    floor (13150.5)     		ty = 13150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4552 / 13150 ti = "14/4552/13150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4552/13150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4552 ÷ 214
    4552 ÷ 16384     		x = 0.27783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13150 ÷ 214
    13150 ÷ 16384     		y = 0.8026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27783203125 × 2 - 1) × π
    -0.4443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39592252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90136918652991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39592252} λ = -1.39592252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90136918652991))-π/2
    2×atan(0.149363972015969)-π/2
    2×0.148267857387489-π/2
    0.296535714774979-1.57079632675     		φ = -1.27426061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39592252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27426061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.009755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4552 KachelY 13150 -1.39592252 -1.27426061 -79.980469 -73.009755
    Oben rechts KachelX + 1 4553 KachelY 13150 -1.39553902 -1.27426061 -79.958496 -73.009755
    Unten links KachelX 4552 KachelY + 1 13151 -1.39592252 -1.27437265 -79.980469 -73.016174
    Unten rechts KachelX + 1 4553 KachelY + 1 13151 -1.39553902 -1.27437265 -79.958496 -73.016174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27426061--1.27437265) × R
    0.000112040000000091 × 6371000     		dl = 713.806840000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27426061--1.27437265) × R
    0.000112040000000091 × 6371000     		dr = 713.806840000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39592252--1.39553902) × cos(-1.27426061) × R
    0.000383500000000092 × 0.292208883821274 × 6371000     		do = 713.947683349689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39592252--1.39553902) × cos(-1.27437265) × R
    0.000383500000000092 × 0.292101732027017 × 6371000     		du = 713.685881674544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27426061)-sin(-1.27437265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292208883821274-0.292101732027017)×R²
    abs(-1.39553902--1.39592252)×0.000107151794257243×R²
    0.000383500000000092×0.000107151794257243×6371000²
    0.000383500000000092×0.000107151794257243×40589641000000     		ar = 509527.302398284m²