Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4552 / 13122
↖ ↑ ↗
← S 72.829052°
W 79.980469°		 ← 721.31 m → S 72.829052°
W 79.958496°		 →
↑
721.20 m
↓
↑
721.20 m
↓
S 72.835538°
W 79.980469°		 ← 721.05 m →
520 114 m²		 S 72.835538°
W 79.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277862548828125 y=0.800933837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277862548828125 × 214)
    floor (0.277862548828125 × 16384)
    floor (4552.5)     		tx = 4552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800933837890625 × 214)
    floor (0.800933837890625 × 16384)
    floor (13122.5)     		ty = 13122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4552 / 13122 ti = "14/4552/13122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4552/13122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4552 ÷ 214
    4552 ÷ 16384     		x = 0.27783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13122 ÷ 214
    13122 ÷ 16384     		y = 0.8009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27783203125 × 2 - 1) × π
    -0.4443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39592252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89063132101501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39592252} λ = -1.39592252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89063132101501))-π/2
    2×atan(0.150976464128402)-π/2
    2×0.149844787684398-π/2
    0.299689575368795-1.57079632675     		φ = -1.27110675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39592252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27110675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.829052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4552 KachelY 13122 -1.39592252 -1.27110675 -79.980469 -72.829052
    Oben rechts KachelX + 1 4553 KachelY 13122 -1.39553902 -1.27110675 -79.958496 -72.829052
    Unten links KachelX 4552 KachelY + 1 13123 -1.39592252 -1.27121995 -79.980469 -72.835538
    Unten rechts KachelX + 1 4553 KachelY + 1 13123 -1.39553902 -1.27121995 -79.958496 -72.835538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27110675--1.27121995) × R
    0.000113200000000147 × 6371000     		dl = 721.197200000933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27110675--1.27121995) × R
    0.000113200000000147 × 6371000     		dr = 721.197200000933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39592252--1.39553902) × cos(-1.27110675) × R
    0.000383500000000092 × 0.295223633812653 × 6371000     		do = 721.313557186502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39592252--1.39553902) × cos(-1.27121995) × R
    0.000383500000000092 × 0.29511547745144 × 6371000     		du = 721.049301074511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27110675)-sin(-1.27121995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295223633812653-0.29511547745144)×R²
    abs(-1.39553902--1.39592252)×0.000108156361213252×R²
    0.000383500000000092×0.000108156361213252×6371000²
    0.000383500000000092×0.000108156361213252×40589641000000     		ar = 520114.027935551m²