Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4552 / 12827
↖ ↑ ↗
← S 70.808590°
W 79.980469°		 ← 803.17 m → S 70.808590°
W 79.958496°		 →
↑
803 m
↓
↑
803 m
↓
S 70.815812°
W 79.980469°		 ← 802.88 m →
644 827 m²		 S 70.815812°
W 79.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277862548828125 y=0.782928466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277862548828125 × 214)
    floor (0.277862548828125 × 16384)
    floor (4552.5)     		tx = 4552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782928466796875 × 214)
    floor (0.782928466796875 × 16384)
    floor (12827.5)     		ty = 12827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4552 / 12827 ti = "14/4552/12827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4552/12827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4552 ÷ 214
    4552 ÷ 16384     		x = 0.27783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12827 ÷ 214
    12827 ÷ 16384     		y = 0.78289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27783203125 × 2 - 1) × π
    -0.4443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39592252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78289794921875 × 2 - 1) × π
    -0.5657958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77750023791168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39592252} λ = -1.39592252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77750023791168))-π/2
    2×atan(0.169060229849005)-π/2
    2×0.167476641904436-π/2
    0.334953283808871-1.57079632675     		φ = -1.23584304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39592252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23584304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.808590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4552 KachelY 12827 -1.39592252 -1.23584304 -79.980469 -70.808590
    Oben rechts KachelX + 1 4553 KachelY 12827 -1.39553902 -1.23584304 -79.958496 -70.808590
    Unten links KachelX 4552 KachelY + 1 12828 -1.39592252 -1.23596908 -79.980469 -70.815812
    Unten rechts KachelX + 1 4553 KachelY + 1 12828 -1.39553902 -1.23596908 -79.958496 -70.815812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23584304--1.23596908) × R
    0.000126040000000049 × 6371000     		dl = 803.000840000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23584304--1.23596908) × R
    0.000126040000000049 × 6371000     		dr = 803.000840000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39592252--1.39553902) × cos(-1.23584304) × R
    0.000383500000000092 × 0.328725053082716 × 6371000     		do = 803.166854608552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39592252--1.39553902) × cos(-1.23596908) × R
    0.000383500000000092 × 0.328606015060954 × 6371000     		du = 802.876011569297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23584304)-sin(-1.23596908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328725053082716-0.328606015060954)×R²
    abs(-1.39553902--1.39592252)×0.000119038021762496×R²
    0.000383500000000092×0.000119038021762496×6371000²
    0.000383500000000092×0.000119038021762496×40589641000000     		ar = 644826.886161179m²