Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45516 / 94908
↖ ↑ ↗
← S 62.507247°
W 54.986572°		 ← 141 m → S 62.507247°
W 54.983825°		 →
↑
140.99 m
↓
↑
140.99 m
↓
S 62.508515°
W 54.986572°		 ← 140.99 m →
19 879 m²		 S 62.508515°
W 54.983825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347263336181641 y=0.724094390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347263336181641 × 217)
    floor (0.347263336181641 × 131072)
    floor (45516.5)     		tx = 45516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724094390869141 × 217)
    floor (0.724094390869141 × 131072)
    floor (94908.5)     		ty = 94908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45516 / 94908 ti = "17/45516/94908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45516/94908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45516 ÷ 217
    45516 ÷ 131072     		x = 0.347259521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94908 ÷ 217
    94908 ÷ 131072     		y = 0.724090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.30548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95969673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.44818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40800261564029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95969673} λ = -0.95969673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40800261564029))-π/2
    2×atan(0.244631418463366)-π/2
    2×0.239919532941269-π/2
    0.479839065882538-1.57079632675     		φ = -1.09095726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95969673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09095726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.507247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45516 KachelY 94908 -0.95969673 -1.09095726 -54.986572 -62.507247
    Oben rechts KachelX + 1 45517 KachelY 94908 -0.95964879 -1.09095726 -54.983825 -62.507247
    Unten links KachelX 45516 KachelY + 1 94909 -0.95969673 -1.09097939 -54.986572 -62.508515
    Unten rechts KachelX + 1 45517 KachelY + 1 94909 -0.95964879 -1.09097939 -54.983825 -62.508515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09095726--1.09097939) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dl = 140.990230000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09095726--1.09097939) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dr = 140.990230000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95969673--0.95964879) × cos(-1.09095726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461636422626342 × 6371000     		do = 140.995645991511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95969673--0.95964879) × cos(-1.09097939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461616791671312 × 6371000     		du = 140.989650192544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09095726)-sin(-1.09097939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461636422626342-0.461616791671312)×R²
    abs(-0.95964879--0.95969673)×1.96309550298812e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96309550298812e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96309550298812e-05×40589641000000     		ar = 19878.5858835614m²