Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45510 / 95001
↖ ↑ ↗
← S 62.624930°
W 55.003052°		 ← 140.44 m → S 62.624930°
W 55.000305°		 →
↑
140.42 m
↓
↑
140.42 m
↓
S 62.626193°
W 55.003052°		 ← 140.43 m →
19 720 m²		 S 62.626193°
W 55.000305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347217559814453 y=0.724803924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347217559814453 × 217)
    floor (0.347217559814453 × 131072)
    floor (45510.5)     		tx = 45510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724803924560547 × 217)
    floor (0.724803924560547 × 131072)
    floor (95001.5)     		ty = 95001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45510 / 95001 ti = "17/45510/95001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45510/95001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45510 ÷ 217
    45510 ÷ 131072     		x = 0.347213745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95001 ÷ 217
    95001 ÷ 131072     		y = 0.724800109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347213745117188 × 2 - 1) × π
    -0.305572509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95998435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724800109863281 × 2 - 1) × π
    -0.449600219726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.41246074730495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95998435} λ = -0.95998435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41246074730495))-π/2
    2×atan(0.243543246799098)-π/2
    2×0.238892547723683-π/2
    0.477785095447365-1.57079632675     		φ = -1.09301123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95998435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.003052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09301123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.624930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45510 KachelY 95001 -0.95998435 -1.09301123 -55.003052 -62.624930
    Oben rechts KachelX + 1 45511 KachelY 95001 -0.95993641 -1.09301123 -55.000305 -62.624930
    Unten links KachelX 45510 KachelY + 1 95002 -0.95998435 -1.09303327 -55.003052 -62.626193
    Unten rechts KachelX + 1 45511 KachelY + 1 95002 -0.95993641 -1.09303327 -55.000305 -62.626193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09301123--1.09303327) × R
    2.20400000001675e-05 × 6371000     		dl = 140.416840001067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09301123--1.09303327) × R
    2.20400000001675e-05 × 6371000     		dr = 140.416840001067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95998435--0.95993641) × cos(-1.09301123) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.459813436553635 × 6371000     		do = 140.43885912157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95998435--0.95993641) × cos(-1.09303327) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.459793864579402 × 6371000     		du = 140.432881336857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09301123)-sin(-1.09303327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459813436553635-0.459793864579402)×R²
    abs(-0.95993641--0.95998435)×1.95719742331901e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95719742331901e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95719742331901e-05×40589641000000     		ar = 19719.5611211939m²