Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4551 / 8644
↖ ↑ ↗
← S  9.882275°
W 80.002441°		 ← 2 406.96 m → S  9.882275°
W 79.980469°		 →
↑
2 406.96 m
↓
↑
2 406.96 m
↓
S  9.903922°
W 80.002441°		 ← 2 406.80 m →
5 793 283 m²		 S  9.903922°
W 79.980469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277801513671875 y=0.527618408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277801513671875 × 214)
    floor (0.277801513671875 × 16384)
    floor (4551.5)     		tx = 4551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527618408203125 × 214)
    floor (0.527618408203125 × 16384)
    floor (8644.5)     		ty = 8644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4551 / 8644 ti = "14/4551/8644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4551/8644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4551 ÷ 214
    4551 ÷ 16384     		x = 0.27777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8644 ÷ 214
    8644 ÷ 16384     		y = 0.527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.4444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39630601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527587890625 × 2 - 1) × π
    -0.05517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.173339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39630601} λ = -1.39630601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173339829026123))-π/2
    2×atan(0.840851820431504)-π/2
    2×0.699159040925139-π/2
    1.39831808185028-1.57079632675     		φ = -0.17247824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39630601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.002441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17247824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.882275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4551 KachelY 8644 -1.39630601 -0.17247824 -80.002441 -9.882275
    Oben rechts KachelX + 1 4552 KachelY 8644 -1.39592252 -0.17247824 -79.980469 -9.882275
    Unten links KachelX 4551 KachelY + 1 8645 -1.39630601 -0.17285604 -80.002441 -9.903922
    Unten rechts KachelX + 1 4552 KachelY + 1 8645 -1.39592252 -0.17285604 -79.980469 -9.903922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17247824--0.17285604) × R
    0.000377799999999984 × 6371000     		dl = 2406.9637999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17247824--0.17285604) × R
    0.000377799999999984 × 6371000     		dr = 2406.9637999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39630601--1.39592252) × cos(-0.17247824) × R
    0.000383489999999931 × 0.985162466305611 × 6371000     		do = 2406.96350823031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39630601--1.39592252) × cos(-0.17285604) × R
    0.000383489999999931 × 0.985097556322991 × 6371000     		du = 2406.80491920076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17247824)-sin(-0.17285604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985162466305611-0.985097556322991)×R²
    abs(-1.39592252--1.39630601)×6.49099826200983e-05×R²
    0.000383489999999931×6.49099826200983e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.49099826200983e-05×40589641000000     		ar = 5793283.24211246m²