Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45504 / 94912
↖ ↑ ↗
← S 62.512318°
W 55.019531°		 ← 140.94 m → S 62.512318°
W 55.016785°		 →
↑
140.99 m
↓
↑
140.99 m
↓
S 62.513586°
W 55.019531°		 ← 140.94 m →
19 871 m²		 S 62.513586°
W 55.016785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347171783447266 y=0.724124908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347171783447266 × 217)
    floor (0.347171783447266 × 131072)
    floor (45504.5)     		tx = 45504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724124908447266 × 217)
    floor (0.724124908447266 × 131072)
    floor (94912.5)     		ty = 94912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45504 / 94912 ti = "17/45504/94912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45504/94912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45504 ÷ 217
    45504 ÷ 131072     		x = 0.34716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94912 ÷ 217
    94912 ÷ 131072     		y = 0.72412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34716796875 × 2 - 1) × π
    -0.3056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96027197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72412109375 × 2 - 1) × π
    -0.4482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40819436323877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96027197} λ = -0.96027197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40819436323877))-π/2
    2×atan(0.244584515473275)-π/2
    2×0.239875277867554-π/2
    0.479750555735108-1.57079632675     		φ = -1.09104577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96027197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09104577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.512318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45504 KachelY 94912 -0.96027197 -1.09104577 -55.019531 -62.512318
    Oben rechts KachelX + 1 45505 KachelY 94912 -0.96022404 -1.09104577 -55.016785 -62.512318
    Unten links KachelX 45504 KachelY + 1 94913 -0.96027197 -1.09106790 -55.019531 -62.513586
    Unten rechts KachelX + 1 45505 KachelY + 1 94913 -0.96022404 -1.09106790 -55.016785 -62.513586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09104577--1.09106790) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dl = 140.990230000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09104577--1.09106790) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dr = 140.990230000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96027197--0.96022404) × cos(-1.09104577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461557906320937 × 6371000     		do = 140.942259236797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96027197--0.96022404) × cos(-1.09106790) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461538274461784 × 6371000     		du = 140.936264412434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09104577)-sin(-1.09106790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461557906320937-0.461538274461784)×R²
    abs(-0.96022404--0.96027197)×1.96318591531019e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96318591531019e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96318591531019e-05×40589641000000     		ar = 19871.0589416206m²